九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年度 ベクトル解析

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Zero

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直交座標系において，\(x, y, z\) 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ \(\boldsymbol{i, j, k}\) とする．\(S\) を以下の面とし，\(C\) をその外周とするとき，ベクトル場 \(\boldsymbol{A} = y\boldsymbol{i} − 2x\boldsymbol{j} + xz\boldsymbol{k}\) に対し，線積分 \(\oint_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r}\)，および面積分 \(\int_S(\Delta \times \boldsymbol{A}) \cdot d\boldsymbol{S}\) をそれぞれ計算せよ. なお，線積分は \(z\) 軸正方向からみて反時計回りに沿って行うものとし，\(S\) の法線ベクトルの \(z\) 成分は非負とする．

\[ S : x^2 + y^2 + z^2 = 1(z \ge 0) \]

Kai

線路 \(C\) はパラメータ \(\theta\) を用して、\(C:\boldsymbol{r} = \cos\theta i + \sin\theta j\) と表せる

\[ \frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta} = -\sin\theta i + \cos\theta j = (-\sin\theta.\cos\theta,0) \]

\[ \begin{aligned} \oint_C \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{r} &= \int_0^{2\pi}\boldsymbol{A} \cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{d\theta}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\bigg[\sin\theta \cdot (-\sin\theta) - 2\cos\theta \cdot \cos\theta\bigg]d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}(-\sin^2\theta - 2\cos^2\theta)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}(-1 - \cos^2\theta)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}(-1 - \frac{1}{2}\cos2\theta)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}(-\frac{3}{2} - \frac{1}{2}\cos2\theta)d\theta \\ &= \bigg[-\frac{3}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin2\theta\bigg]_0^{2\pi} \\ &= -3\pi \end{aligned} \]

面積分を求める、\(S : x^2 + y^2 + z^2 = 1(z \ge 0)\) より、球座標表示でパラメータ表示する、

\[ \left \{ \begin{aligned} &x = r\sin\theta\cos\phi \\ &y = r\sin\theta\sin\phi (0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}),(0 \le \phi \le 2\pi) \\ &z = r\cos\theta \end{aligned} \right. \]

面 \(S\) をパラメータ表示したベクトルを \(\boldsymbol{r}\) とおく

\[ \begin{aligned} &\boldsymbol{r} = (\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta) \\ &\boldsymbol{r}_{\theta} = (\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi,-\sin\theta) \\ &\boldsymbol{r}_{\phi} = (-\sin\theta\sin\phi,\sin\theta\cos\phi,0) \end{aligned} \]

\[ \boldsymbol{r}_{\theta} \times \boldsymbol{r}_{\phi} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\ -\sin\theta\sin\phi & \sin\theta\cos\phi & 0 \end{vmatrix} = (\sin^2\theta\cos\phi,\sin^2\theta\sin\phi,\cos\theta\sin\theta) \]

\[ \begin{aligned} \Delta \times \boldsymbol{A} &= \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & -2x & xz \end{vmatrix} \\ &= (0, -z,-3) \\ &= (0,-\cos\theta,-3) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\int_0^{\theta = \frac{\pi}{2}}\int_0^{\phi = 2\pi}(0,-\cos\theta,-3) \cdot (\sin^2\theta\cos\phi,\sin^2\theta\sin\phi,\cos\theta\sin\theta)d\theta d\phi \\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(-\cos\theta\sin^2\theta\sin\phi - 3\cos\theta\sin\theta)d\theta d\phi \\ &= \bigg[\cos\theta\sin^2\theta\cos\phi - 3\cos\theta\sin\theta \cdot \phi \bigg]_0^{2\pi} \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} - 3\pi \sin\theta d\theta \\ &= \bigg[\frac{3}{2}\cos2\theta\bigg]_0^{2\pi} \\ &= -3\pi \end{aligned} \]