九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年度 線形代数
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Zero
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正方行列 \(A\) が交代的であるとは，\(A^{\top} = -A\) を満たすことである．ここで，\(A^{\top}\) は \(A\) の転置を表す．以下の各問に答えよ．
(1) 任意の \(n\) 次正方行列 \(A \in \boldsymbol{R}^{n \times n}\) と整数 \(i,j(1 \le i,j \le n)\)
に対し，ベクトルの組 \(\boldsymbol{x,y}\) \(\in \boldsymbol{R}^n\) が存在し，\(\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} = A_{ij}\) を満たすことを示せ．ただし，\(A_{ij}\) は \(A\) の \((i, j)\) 成分である．
(2) \(n\) 次正方行列 \(A \in \boldsymbol{R}^{n \times n}\) が交代的であるための必要十分条件は，
\[
\boldsymbol{y}^{\top
}A\boldsymbol{x} = -\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y}(\forall \boldsymbol{x,y} \in \boldsymbol{R}^n)
\]
が成り立つことであることを示せ．
(3) 交代的な行列 \(A\) が固有値 \(\lambda\) を持つとき，\(A\) は \(-\lambda\) も固有値として持つことを示せ．ヒント：任意の正方行列 \(X\) の行列式 \(|X|\) について，\(|X| = |X^{\top}|\) が成り立つ．
Kai
(1)
\[
A = \begin{pmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & \cdots &A_{nn} \\
\end{pmatrix}
\qquad
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
\qquad
\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix}
y_1 \\ \vdots \\y_n
\end{pmatrix}
\]
\[
\boldsymbol{x}^{\top} = \begin{pmatrix}
x_1 & \cdots & x_n
\end{pmatrix}
\]
\[
\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix}
x_1 & \cdots & x_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & \cdots &A_{nn} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\ \vdots \\y_n
\end{pmatrix}
\]
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} &= \begin{pmatrix}
x_1A_{11} + \cdots + x_nA_{n1},\cdots,x_1A_n + x_nA_{nn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_1 \\ \vdots \\y_n
\end{pmatrix} \\
&= x_1y_1A_{11} + \cdots + x_ny_1A_{n1} + \cdots + x_1y_nA_{1n} + \cdots + x_ny_nA_{nn} \\
&= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n x_i y_j A_{ij}
\end{aligned}
\]
\(x_i = y_j = 1\) かつ \(x_k = y_l = 0 \ (i \neq k, j \neq l, 1 \le k , l \le n)\) のとき、\(\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} = A_{ij}\) となる。
(2)
充分性:
\[
\begin{aligned}
-\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y} &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n x_i y_i A_{ij} \\
\boldsymbol{y}^{\top}A\boldsymbol{x} &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n y_j x_i A_{ji}
\end{aligned}
\]
\(\boldsymbol{y}^{\top}A\boldsymbol{x} = -\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y}\) となると、\(-A_{ij} = A_{ji}\) より、
\(A^{\top} = -A\) となり,\(A \in \boldsymbol{R}^{n \times n}\) が交代的である。
必要性:
\(A \in \boldsymbol{R}^{n \times n}\) が交代的であるとき、\(-A_{ij} = A_{ji}\) より、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{y}^{\top}A\boldsymbol{x} &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n y_jx_i A_{ji} \\
&= -\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1} x_iy_j A_{ij} \\
&= -\boldsymbol{x}^{\top}A\boldsymbol{y}
\end{aligned}
\]
以上から、必要十分条件である。
(3)
固有値として持つから、
\[
A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
\]
\[
|A - \lambda E| = 0
\]
\(|\boldsymbol{x}| = |\boldsymbol{x}^{\top}|\) より、
\[
|(A - \lambda E)^{\top}| = 0
\]
\[
|A^{\top} - \lambda E| = 0 \Leftrightarrow A^{\top}\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
\]
\(A\) は交代的であり、\(A^{\top} = -A\)
\[
\therefore -A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}
\]
\[
A\boldsymbol{x} = -\lambda \boldsymbol{x}
\]
よって、\(-\lambda\) も固有値として持つ。