九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年度 微分方程式
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Zero
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次の微分方程式の一般解を求めよ．なお，\(y'\) は関数 \(y(x)\) の \(x\) に関する \(1\) 階導関数を表している．
(1) \(y' = \frac{9(y^2 + 1)}{x^3 - 3x + 2}\)
(2) \(y'' - 3y' + 2y = e^{2x}\)
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{9(y^2 + 1)}{x^3 - 3x + 2} \\
\frac{dy}{y^2 + 1} &= \frac{9}{x^3 - 3x + 2}dx
\end{aligned}
\]
両辺を積分すると、
\[
\begin{align}
&\int\frac{dy}{y^2 + 1} \tag{i}\\
\quad = \quad& \int\frac{9}{x^3 - 3x + 2}dx \tag{ii}
\end{align}
\]
\[
(\text{i}) = \tan^{-1} y
\]
\[
\int\frac{9}{x^3 - 3x + 2}dx = \int\frac{9}{(x - 1)^2(x + 2)}dx
\]
\[
\begin{aligned}
(\text{ii}) &= \int\bigg[\frac{3}{(x - 1)^2} + \frac{-1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}\bigg]dx \\
&= \int 3(x - 1)^{-2}dx - \int \frac{1}{x - 1}dx + \int \frac{1}{x + 2}dx \\
&= -3(x - 1)^{-1} - \log|x - 1| + \log|x + 2| \\
&= -\frac{3}{x - 1} + \log\bigg|\frac{x + 2}{x - 1}\bigg|
\end{aligned}
\]
以上から、
\[
\tan^{-1}y = -\frac{3}{x - 1} + \log\bigg|\frac{x + 2}{x - 1}\bigg| + C
\]
\[
y = \tan\bigg[-\frac{3}{x - 1} + \log\bigg|\frac{x + 2}{x - 1}\bigg| + C\bigg]
\]
(2)
\[
\begin{align}
y'' - 3y' + 2y = e^{2x} \tag{*}
\end{align}
\]
\(y'' - 3y' + 2y = 0\) について、特性方程式から、
\[
\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0
\]
\[
\lambda = 1,2
\]
\(y\) の一般解は
\[
y = Ae^x + Be^{2x}
\]
特殊解を求める。\(y = Cxe^{2x}\) とする。
\[
\begin{aligned}
y' &= C(e^{2x} + 2xe^{2x}) \\
&= C(1 + 2x)e^{2x} \\
y'' &= c[2e^{2x} + 2(1 + 2x)e^{2x}] \\
&= C \cdot (4 + 4x)e^{2x}
\end{aligned}
\]
\((*)\) に代入
\[
C(4 + 4x) - 3C(1 + 2x) + 2Cx = 1
\]
\[
C = 1
\]
\((*)\) の一般解は
\[
y = Ae^x + Be^{2x} + xe^{2x}
\]