九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2017年度 ベクトル解析
Author
Zero
Description
次の各問に答えよ．ただし \((x, y, z)\) は三次元空間の直交座標を表す.
(1) スカラー場 \(\phi = x^2yz^3 + xy^2z\) について，点 \((1,3,2)\) における \(\nabla \cdot (\nabla \cdot \phi)\) を計算せよ．
(2) スカラー場 \(V = xyz\) について，次の面 \(S\) に対する \(V\) の面積分を計算せよ．
\[
S: x^2 + y^2 = 4,x \ge 0,y \ge 0, 3 \ge z \ge 0
\]
Kai
(1)
\(\phi = x^2yz^3 + xy^2z\) 点 \((1,3,2)\) における \(\nabla \cdot (\nabla \cdot \phi)\)
\[
\begin{aligned}
\nabla \cdot (\nabla \cdot \phi) &= \nabla \cdot (\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}) \\
&= \frac{\partial ^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2\phi}{\partial z^2} \\
&= 2yz^3 + 2xz + 6x^yz \\
&= 88
\end{aligned}
\]
(2)
\[
0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},0 \le z \le 3
\]
\[
\begin{aligned}
&x = 2\cos\theta,y = 2\sin\theta,z = z \\
&r = (2\cos\theta,2\sin\theta,z) \\
&r_{\theta} = (-2\sin\theta,2\cos\theta,0) \\
&r_z = (0,0,1)
\end{aligned}
\]
\[
r_\theta \times r_z =
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
-2\sin\theta & 2\cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 2\cos\theta i + 2\sin\theta j
\]
\[
r_\theta \times r_z = 2
\]
\[
\begin{aligned}
V &= (2\cos\theta) \cdot (2\sin\theta) \cdot z \\
&= 4\sin\theta \cos\theta z \\
&= 2z\sin2\theta
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\int_S V d S &= \int_0^3 dz \int_0^{\frac{\pi}{2}}2z \sin2\theta \cdot |r_\theta \times r_z|d\theta \\
&= \int_0^3 dz \int_0^{\frac{\pi}{2}}4z\sin2\theta d\theta \\
&= \int_0^3 dz \bigg[-2z\cos2\theta\bigg]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \int_0^3 dz (4z) \\
&= \big[2z^2\big]_0^3 \\
&= 18
\end{aligned}
\]