九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2017年度 線形代数
Author
Zero
Description
\(1\) 次独立な \(n\) 次元ベクトルの組 \(\{v_1,v_2,\dots,v_k\} \subseteq R^n\) が張る部分空間 \(K\) に対し，写像 \(f:K \rightarrow R^k\) を次のように定義する．任意の \(x = \sum_{i = 1}^k \alpha_iv_i \in K\) に対し，\(f(x) = \begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_k \\ \end{pmatrix}\).
以下の各問に答えよ．
(1) 任意の \(x,y \in K\) に対し，\(f(x + y) = f(x) + f(y)\) が成り立つことを示せ．
(2) 任意の \(x \in K\), 任意の実数 \(c\) に対し，\(f(cx) = cf(x)\) が成り立つことを示せ．
(3) \(\{x_1,x_2,\dots,x_l\} \subseteq K\) が \(1\) 次独立のとき，\(\{f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_l)\}\) も \(1\) 次独立であることを示せ．
Kai
(1)
\(y = \sum_{i = 1}^K\beta_iv_i \in K\) とする、
\[
\begin{aligned}
x + y &= \sum_{i = 1}^K\alpha_iv_i + \sum_{i = 1}^K\beta_iv_i \\
&= \sum_{i = 1}^K(\alpha_i + \beta_i)v_i
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
f(x + y) = \begin{pmatrix}
\alpha_1 + \beta_1 \\
\vdots \\
\alpha_K + \beta_K
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha_K
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
\beta_1 \\
\vdots \\
\beta_K
\end{pmatrix} \\
&= f(x) + f(y)
\end{aligned}
\]
(2)
\[
cx = c\sum_{i = 1}^K\alpha_iv_i = \sum_{i = 1}^Kc\alpha_ic_i
\]
\[
f(cx) = \begin{pmatrix}
c\alpha_1 \\
\vdots \\
c\alpha_K
\end{pmatrix} = c\begin{pmatrix}
\alpha_1 \\
\vdots \\
\alpha_K
\end{pmatrix} = cf(x)
\]
(3)
\[
c_1f(x_1) + c_2f(x_2) + \cdots + c_lf(x_l) = 0 \Leftrightarrow f(c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_lx_l) = 0
\]
\(f(x) = 0\) となるには、
\[
f(x) = \begin{pmatrix}
0 \\ \vdots \\0
\end{pmatrix} \Leftrightarrow
x\sum_{i = 0}^K 0 \cdot v_i = 0
\]
よって、
\[
c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots +c_lx_l = 0
\]
\(\{x_1,x_2,\dots,x_l\} \subseteq K\) は一次独立であるから、
\[
c_1 = c_2 = \cdots = c_l = 0
\]
よって、\(\{f(x_1),f(x_2),\dots,f(x_l)\}\) も一次独立