九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2016年度 線形代数
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Zero
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任意の行列 \(A\) を引数に取り行列を返す関数 \(f(A) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}A & A \\ A & -A\end{pmatrix}\) について 以下の各問に答えよ。
(1) \(A\) が直交行列のとき、\(f(A)\) も直交行列となることを示せ。
(2) \(A_0\) を \(1 \times 1\) 行列 \(A_0 = (1)\) とし,任意の整数 \(n \ge 1\) に対し, 行列 \(A_n\) を \(A_n = f(A_{n-1})\) と定義する。このとき, 各成分が \(1\) の \(2^n\) 次元行ベクトル \(\boldsymbol{1} = \{1,1,\dots,1\}\) と行列 \(A_n\) の積 \(\boldsymbol{1}A_n\) を求めよ。
(3) \(\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\dots,\boldsymbol{v}_d\}\)を \(A\) の列空間 ( \(A\) の列ベクトルが張る部分空間 ) の基底とする。このとき,
\[
\bigg\{\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1\\\boldsymbol{v}_1\end{pmatrix},\dots,\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_d\\\boldsymbol{v}_d\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_1\\-\boldsymbol{v}_1\end{pmatrix},\dots,\begin{pmatrix}\boldsymbol{v}_d\\-\boldsymbol{v}_d\end{pmatrix}\bigg\}
\]
が \(f(A)\) の列空間の基底となることを示せ。
Kai
(1)
\(f(A)\) が直交行列 \(\Leftrightarrow\) \((f(A))^{-1} = (f(A))^{-1}\) を示す
\[
(f(A))^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
A^{\top} & A^{\top} \\
A^{\top} & (-A)^{\top} \\
\end{pmatrix}
\]
\(A\) が直交行列ので, \(A^{\top} = A^{-1}\)
\[
\begin{align}
(f(A))^{\top} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
A^{-1} & A^{-1} \\
A^{-1} & -A^{-1} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
\]
\(f(A)^{-1}\) を求める
\[
\begin{aligned}
\left (
\begin{array}{cc|cc}
\frac{A}{\sqrt{2}} & \frac{A}{\sqrt{2}} & 1 & 0 \\
\frac{A}{\sqrt{2}} & -\frac{A}{\sqrt{2}} & 0 & 1 \\
\end{array}
\right) &=
\left (
\begin{array}{cc|cc}
A & A & \sqrt{2} & 0 \\
A & -A & 0 & \sqrt{2} \\
\end{array}
\right) \\ &=
\left (
\begin{array}{cc|cc}
1 & 1 & \frac{\sqrt{2}}{A} & 0 \\
1 & -1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{A}
\end{array}
\right) \\ &=
\left (
\begin{array}{cc|cc}
1 & 1 & \frac{\sqrt{2}}{A} & 0 \\
0 & -2 & -\frac{\sqrt{2}}{A} & \frac{\sqrt{2}}{A} \\
\end{array}
\right) \\ &=
\left (
\begin{array}{cc|cc}
1 & 1 & \frac{\sqrt{2}}{A} & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}A} & -\frac{1}{\sqrt{2}A} \\
\end{array}
\right) \\ &=
\left (
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}A} & \frac{1}{\sqrt{2}A} \\
0 & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}A} & -\frac{1}{\sqrt{2}A}
\end{array}
\right)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{align}
f(A)^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
\frac{1}{A} & \frac{1}{A} \\
\frac{1}{A} & -\frac{1}{A} \\
\end{pmatrix} \notag \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
A^{-1} & A^{-1} \\
A^{-1} & -A^{-1} \\
\end{pmatrix}
\end{align}
\]
式(1)(2)より、
\((f(A))^{\top} = (f(A))^{-1}\) も直交行列
(2)
\[A_n = f(A_{n-1})\]
\[A_0 = (1)\]
\[A_1 = f(A_0) = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & -1 \\\end{pmatrix}\]
\[
A_2 = f(A_1) = \frac{1}{(\sqrt{2})^2}
\left(
\begin{array}{cc:cc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
\hdashline
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
\end{array}
\right)
\]
\[
A_n = f(A_{n-1}) = \frac{1}{(\sqrt{2}^n)}
\begin{pmatrix}
A_{n-1} & A_{n-1} \\
A_{n-1} & -A_{n-1} \\
\end{pmatrix}
\]
\[
\boldsymbol{1} A_n = \overbrace{(1,1,\dots,1)}^{2^n}\frac{1}{(\sqrt{2})^n}
\begin{pmatrix}
A_{n-1} & A_{n-1} \\
A_{n-1} & -A_{n-1} \\
\end{pmatrix}
\]
\(\begin{pmatrix}A_{n-1} & A_{n-1} \\ A_{n-1} & A_{n-1}\\\end{pmatrix}\) の奇数列目は全て \(\frac{1}{\sqrt{2}}\),偶数列目は \(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\) の交互
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{1}A_n &= \frac{1}{\sqrt{2}^n}(1 \times 2^n,0,1 \times 2^n,0,1 \times 2^n,0,\dots,1 \times 2^n,0) \\
&= ((\sqrt{2})^n,0,(\sqrt{2})^n,0(\sqrt{2})^n,0,\dots,(\sqrt{2})^n,0)
\end{aligned}
\]
(3)
\(A = (c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d)\) と表せる
\[
\begin{aligned}
f(A) &= \frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d,c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d \\
c_1v_1,c_2v_2,\dots,c_dv_d,-c_1v_1,-c_2v_2,-c_dv_d
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}
\bigg(c_1\begin{pmatrix}
v_1 \\v_1
\end{pmatrix},\dots,
c_d\begin{pmatrix}
v_d \\v_d
\end{pmatrix},
c_1\begin{pmatrix}
v_1 \\-v_1
\end{pmatrix},\dots
c_d\begin{pmatrix}
v_d \\-v_d
\end{pmatrix}
\bigg)
\end{aligned}
\]
となるので、
\[
\bigg\{
\begin{pmatrix}
v_1 \\v_1
\end{pmatrix},\dots
\begin{pmatrix}
v_d \\v_d
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
v_1 \\-v_1
\end{pmatrix},\dots,
\begin{pmatrix}
v_d \\-v_d
\end{pmatrix}
\bigg\}
\]
は \(f(A)\) の列空間の基底となる