Kyushu-University
九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2021年度 電気回路
Author Zero
Description 【問 1】
図 \(1\) に示す回路において，\(C = \sqrt{3}\text{F},L = \frac{\sqrt{3}}{6}\text{H}\) , 電源の角周波数 \(\omega = 2\text{rad/s}\) , 端子間電圧 \(V\) と電流 \(I\) の位相差は \(\arg(\frac{V}{I}) = -\frac{\pi}{6}\text{rad}\) であり，回路は定常状態にあるとする．以下の問いに答えよ.
(1) \(R\) の値を求めよ．
(2) 電流 \(I\) の時間関数が \(i(t) = \sin(2t + \frac{\pi}{6})\text{A}\) であり，これに対応するフェーザ電流を \(I = e^{j\frac{\pi}{6}}\text{A}\) と表すとき，フェーザ電圧 \(V\) を求め，その時間関数 \(v(t)\) を答えよ．
【問 2】
図 \(2\) の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，図 \(2(a)\) と図 \(2(b)\) は等価である．
(1) 図 \(2(b)\) のインピーダンス \(Z_1，Z_2，Z_3\) を求めよ．
(2) 図 \(2(b)\) において，端子対 \(1-1'\) から右側を見たときのインピーダンス \(Z_R\) および左側を見たときのインピーダンス \(Z_L\) を記号 \(Z_0,Z_1,Z_2,Z_3\) を用いずに表せ．ただし，インピーダンス \(Z_0 = R + jX\) である．
(3) 図 \(2(b)\) の \(Z_0\) において，\(R\) も \(X\) も可変であるとき，\(Z_0\) における消費電力を最大とする \(R\) および \(X\) を求めよ．
【問 3】
図 \(3\) の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，電源の角周波数を \(\omega\) とする．
(1) 図 \(3(b)\) が図 \(3(a)\) の端子対 \(1-1’\) の左側の \(2\) 端子回路と等価なとき，電流源 \(J_0\) とアドミタンス \(Y_0\) を求めよ．
(2) 図 \(3(a)\) の電流 \(I\) を求めよ．
【問 4】
図 \(4\) の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，\(e(t) = 50 \sin t \text{V}\) とし，スイッチ \(S\) を閉じる前の回路は定常状態にあるとする．
(1) \(t = 0\) でスイッチ \(S\) を閉じた直後の電流 \(i(+0)\) を求めよ．
(2) \(t > 0\) における電流 \(i(t)\) を求めよ．
Kai 【問 1】
(1)
\[
\begin{align}
Z_{\text{全}} &= R + \frac{1}{j\omega C} // j\omega L \notag\\
&= R + \frac{\frac{1}{j\omega C} \cdot j\omega L}{\frac{1}{j\omega C} + j\omega
L} \notag\\
&= R + \frac{j\omega L}{1 - \omega^2CL} \notag\\
&= R + \frac{j \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}} \notag\\
&= R + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}j}{1 - 2} \notag\\
&= R - \frac{\sqrt{3}}{3}j \tag{①}
\end{align}
\]
\[
\frac{V}{I} = Z_{\text{全}}
\]
\[
\begin{align}
Z_{\text{全}} &= Ae^{-\frac{\pi}{6}}(A > 0) \notag \\
&= A(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}j) \tag{②}
\end{align}
\]
①、② の実部と虚部を比較
\[
\left \{
\begin{align}
R &= \frac{\sqrt{3}}{2}A \quad \tag{③} \\
-\frac{\sqrt{3}}{3} &= -\frac{A}{2} \tag{④}
\end{align}
\right.
\]
④ より、
\[
\begin{aligned}
2\sqrt{3} &= 3A \\
A &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \\
R &= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = 1
\end{aligned}
\]
(2)
\[
i(t) = \sin(2t + \frac{\pi}{6}),I = e^{j\frac{\pi}{6}}
\]
(1) より、
\[
Z_{\text{全}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}j)
\]
\[
Z_{\text{全}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}j = \frac{2}{\sqrt{3}}e^{-j\frac{\pi}{6}}
\]
\[
\begin{aligned}
V &= I \times Z_{\text{全}} \\
&= e^{j\frac{\pi}{6}} \times \frac{2}{\sqrt{3}}e^{-j\frac{\pi}{6}} \\
&= \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{aligned}
\]
\[
v(t) = \frac{2}{\sqrt{3}}\sin2t
\]
【問 2】
(1)
\(\Delta \rightarrow Y\) 変換より、
\[
\begin{aligned}
Z_1 &= \frac{2j}{4 + j} \\
&= \frac{2j(4 - j)}{17} \\
&= \frac{2 + 8j}{17} \\
&= \frac{2(1 + 4j)}{17}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Z_2 &= \frac{2j}{4 + j} \\
&= \frac{2(1 + 4j)}{17}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Z_3 &= \frac{4}{4 + j} \\
&= \frac{4(4 - j)}{17} \\
&= \frac{16 - 4j}{17}
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
Z_R &= Z_0 + Z_2 \\
&= R + jX + \frac{2(1 + 4j)}{17} \\
&= \frac{17R + 2 + j(8 + X)}{17} \\
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Z_L &= Z_1 + Z_3 - j \\
&= \frac{2}{4 + j} + \frac{4}{4 + j} - j \\
&= \frac{18 - 3j}{17}
\end{aligned}
\]
(3)
\(Z_L\) を電源側、\(Z_R\) を負荷側におく、\(Z_R\) の消費電力が最大になるには
\(Z_L = \overline{Z_R}\) となればよい
\(Z_L = \frac{18 - 3j}{17}\)
\(\overline{Z_R} = \frac{17R + 2 - j(8 + X)}{17}\)
実部と虚部を比較して
\[
\left \{
\begin{aligned}
&17R + 2 = 18 \\
&8 + X = 3
\end{aligned}
\right.
\]
\[
\left \{
\begin{aligned}
&R = \frac{16}{17} \\
&X = -5
\end{aligned}
\right.
\]
【問 3】
(1)
\(1 - 1'\) の左の電圧源を短絡、電流源を開放する
\[
\begin{aligned}
Z_0 &= R + R//j\omega L \\
&= \frac{2R \cdot j\omega L}{2R + j\omega L}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{Z_0} = Y_0 &= \frac{2R + j\omega L}{j2R\omega L} \\
&= \frac{-j2R\omega L(2R + j\omega L)}{j2R\omega L \times (-j2R\omega L)} \\
&= \frac{2R\omega^2L^2 - j4R^2\omega L}{4R^2\omega^2L^2} \\
&= \frac{2R\omega L(\omega L - j2R)}{4R^2\omega^2L^2} \\
&= \frac{\omega L - j2R}{2R\omega L}
\end{aligned}
\]
(i)
J のみ残したとき
\(I_J = \frac{R}{R + R}J = \frac{1}{2}J\)
(ii)
\(E\) を残したとき
\(I_E = \frac{E}{2R}\)
(iii)
\(E'\) を残したとき
\(I_E = -\frac{E}{2R}\)
\(J_0 = \frac{1}{2}J + \frac{E}{2R} - \frac{E}{2R} = \frac{1}{2}J\)
(2)
(1) より \(1-1'\) 間の電圧は、
\[
\begin{aligned}
V &= \frac{J_0}{Y_0 + \frac{1}{R}} \\
&= \frac{\frac{1}{2}J}{\frac{\omega L - j2R}{2R\omega L} + \frac{1}{R}} \\
&= \frac{R\omega LJ}{\omega L - j2R + 2\omega L} \\
&= \frac{R\omega LJ}{3\omega L - j2R}
\end{aligned}
\]
\(I = \frac{V}{R}\) より、
\[
I = \frac{\omega L}{3\omega L - j2R}J
\]
【問 4】
(1)
\(e(t) = i(t) + L\frac{di(t)}{dt}\)
定常状態なので、\(\frac{Ldi(t)}{dt} = 0\)
\(e(t) = i(t)\)
\(50\sin t = i(t)\)
\(i(+0) = 0\)
(2)
\[
\frac{di(t)}{dt} = 3i'(t)
\]
\[
\begin{aligned}
e(t) &= i(t) + i'(t) + 3i'(t) \\
e(t) &= i(t) + 4i'(t) \\
e(t) &= i(t) + 4 \cdot \frac{1}{3}\frac{di(t)}{dt} \\
e(t) &= i(t) + \frac{4}{3}\frac{di(t)}{dt} \\
\frac{3}{4}e(t) &= \frac{di(t)}{dt} + \frac{3}{4}i(t) \\
\frac{75}{2}\sin t &= \frac{di(t)}{dt} + \frac{3}{4}i(t) \\
\end{aligned}
\]
\(i(t) = i_s(t) + i_f(t)\)
\(i_s(t)\) は \(i_s(t) = A\sin t + B\cos t\) とおくと
\(\frac{di_s(t)}{dt} = A\cos t - B\sin t\)
\[
\begin{aligned}
\frac{75}{2}\sin t &= A\cos t - B\sin t + \frac{3}{4}(A\sin t + B\cos t) \\
\frac{75}{2}\sin t &= (\frac{3}{4}A - B)\sin t + (A + \frac{3}{4}B)\cos t
\end{aligned}
\]
\[
\left \{
\begin{aligned}
&\frac{75}{2} = \frac{3}{4}A - B \\
&0 = A + \frac{3}{4}B \\
\end{aligned}
\right. \Rightarrow
\left \{
\begin{aligned}
&A = 18 \\
&B = -24
\end{aligned}
\right.
\]
\(i_s(t) = 18\sin t - 24\cos t\)
次に \(i_s(t)\) を求める
特性方程式より、
\(0 = \lambda + \frac{3}{4} \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{4}\)
\(i(t) = 18\sin t - 24\cos t + Ce^{-\frac{3}{4}t}\)
(1) より \(i(0) = 0\) より、
\(0 = -24 + C \Rightarrow C = 24\)
\(i(t) = 18\sin t -24\cos t + 24e^{-\frac{3}{4}t}(t > 0)\)
