九州大学 システム情報科学府 情報理工学専攻・電気電子工学専攻 2018年度 電気回路
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Zero
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【問 1】
図 \(1\) の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，電源電圧 \(E\) の角周波数を \(\omega\) とする．
(1) 電源から見たインピーダンス \(Z\) を求めよ．
(2) 電流 \(I\) を求めよ.
(3) 位相差 \(\arg(I/E)\) が \(\pi/2\) となる条件を求めよ．
【問 2】
\(2\) 端子対回路 \(N\) と電圧 \(E\) の電源，インピーダンス \(Z_G\) からなる図 \(2(a)\) の回路と，図 \(2(b)\) の回路が等価であるとき，以下の問いに答えよ．
(1) \(2\) 端子対回路 \(N\) のインピーダンス行列 \(Z\) が，
\[
Z = \begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} \\
z_{21} & z_{22} \\
\end{bmatrix}
\]
で与えられるとき，\(E_0\) および \(Z_0\) を求めよ．
(2) \(2\) 端子対回路 \(N\) が図 \(2(c)\) で与えられるとき，\(E_0\) および \(Z_0\) を求めよ．
【問 3】
図 \(3\) の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，電源電流 \(J\) の角周波数を \(\omega\) とする．
(1) 抵抗 \(R_L\) の電流 \(I\) と消費電力 \(P\) を求めよ．
(2) 次の \(3\) つの場合についてそれぞれ，消費電力 \(P\) が最大となる条件を求めよ．
- (a) \(X_1,X_2\) がともに可変である．ただし，\(R_L < R_0\) とする．
- (b) \(X_1\) が固定で，\(X_2\) が可変である．
- © \(X_1\) が可変で，\(X_2\) が固定である．
【問 4】
図 \(4\) の回路について，以下の問いに答えよ．ただし，\(R = 2\Omega,C = 1/6 \text{F},L = 3\text{H}\) とする．
(1) 電源電圧 \(E\) が \(0\text{V}\) で回路が定常状態に達した後，時刻 \(t = 0\) で \(E\) を \(2\text{V}\) に変化させた．\(t > 0\) における電流 \(i(t)\) を求めよ．
(2) 電源電圧 \(E\) が \(4\text{V}\) で回路が定常状態に達した後，時刻 \(t = 0\) で \(E\) を \(8\text{V}\) に変化させた．\(t > 0\) における電流 \(i(t)\) を求めよ．
Kai
【問 1】
(1)
\[
\begin{aligned}
Z &= \frac{1}{j\omega C_1} + R_1 // R_2 + \frac{1}{j\omega C_2} \\
&= \frac{1}{j\omega C_1} + \frac{R_1(1 + j\omega C_2R_2)}{1 + j\omega C_2R_2 + j\omega C_2R_1} \\
&= \frac{1}{j\omega C_1} + \frac{R_1(1 + j\omega C_2R_2)}{1 + j\omega C_2(R_1 + R_2)} \\
&= \frac{1 + j\omega C_2(R_1 + R_2) + j\omega C_1R_1(1 + j\omega C_2R_2)}{j\omega C_1[1 + j\omega C_2(R_1 + R_2)]}
\end{aligned}
\]
(2)
\(E = ZI_0 \Leftrightarrow I_0 = \frac{E}{Z}\)
\[
\begin{aligned}
I &= \frac{R_1}{R_1 + (R_2 + \frac{1}{j\omega C_2})} \cdot I_0 \\
&= \frac{j\omega C_2R_1}{j\omega C_2(R_1 + R_2) + 1} \times \frac{E}{Z} \\
&= \frac{j\omega C_2R_1}{j\omega C_2(R_1 + R_2) + 1} \times \frac{j\omega C_1[1 + j\omega C_2(R_1 + R_2)]E}{1 + j\omega C_2(R_1 + R_2) + j\omega C_1R_1(1 + j\omega C_2R_2)} \\
&= \frac{-\omega^2C_1C_2R_1}{1 + j\omega C_2(R_1 + R_2) + j\omega C_1R_1(1 + j\omega C_2R_2)}E \\
&= \frac{\omega^2C_1C_2R_1}{\omega^2C_1C_2R_1R_2 - 1 - j\omega(C_1R_1 + C_2R_1 + C_2R_2)}E
\end{aligned}
\]
(3)
(2) より、
\[
\begin{align}
\frac{I}{E} &= \frac{\omega^2C_1C_2R_1}{\omega^2C_1C_2R_1R_2 - 1 - j\omega(C_1R_1 + C_2R_1 + C_2R_2)} \notag \\
&= \frac{\omega C_1C_2R_1R_2 - 1}{\omega^2 C_1C_2R_1} - j\frac{C_1R_1 + C_2R_1 + C_2R_2}{\omega C_1C_2R_1} \tag{*}
\end{align}
\]
\(\arg(\frac{E}{I}) = -\frac{\pi}{2}\) のとき、\(\arg(\frac{I}{E}) = \frac{\pi}{2}\) となるから、\((*)\) の実部が \(0\) となれば、\(\arg(\frac{I}{E}) = \frac{\pi}{2}\) 成立よって、
\[
\begin{aligned}
\omega C_1C_2R_1R_2 - 1 &= 0 \\
\omega^2 &= \frac{1}{C_1C_2R_1R_2} \\
\omega &= (C_1C_2R_1R_2)^{-\frac{1}{2}}
\end{aligned}
\]
【問 2】
(1)
\[
\begin{pmatrix}
V_1 \\ V_2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{21} & Z_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_1 \\ I_2
\end{pmatrix}
\]
\[
\left \{
\begin{aligned}
V_1 &= Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \\
V_2 &= Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \\
\end{aligned}
\right.
\]
\(E_0\) は \((a)\) の回路の端子 \(1-1'\) 間の開放電圧で(\(I_2 = 0\) のときの、\(V_2\))
\[
E_0 = Z_{21}I_1
\]
\((a)\) の回路について、回路より、
\[
E = Z_GI_1 + V_1
\]
\[
E = Z_GI_1 + Z_{11}I_1 \Leftrightarrow I_1 = \frac{E}{Z_G + Z_{11}}
\]
よって、\(E_0 = \frac{Z_{21}}{Z_G + Z_{11}}E\)
\(Z_0\) 電圧源 \(E\) を無効すなわちショートさせたときの \(\frac{V_2}{I_2}\) であるから、\(V_1 = -Z_GI_1\)。\(V_1 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2\) を用いて
\[
Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 = -Z_GI_1
\]
\[
I_1 = -\frac{Z_{12}}{Z_G + Z_{11}}I_2
\]
\(V_2 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2\) より、
\[
V_2 = -\frac{Z_{21}Z_{12}}{Z_G + Z_{11}}I_2 + Z_{22}I_2
\]
\[
\Rightarrow \frac{V_2}{I_2} = Z_{22} - \frac{Z_{12}Z_{21}}{Z_G + Z_{11}}
\]
\[
Z_0 = Z_{22} - \frac{Z_{12}Z_{21}}{Z_G + Z_{11}}
\]
(2)
\(2\) 端子回路 \(N\) が \((c)\) のとき \(E_0\) と \(Z_0\)
\[
Z = \begin{bmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{21} & Z_{22} \\
\end{bmatrix} \qquad
\left \{
\begin{aligned}
V_1 &= Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2 \\
V_2 &= Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2 \\
\end{aligned}
\right.
\]
(i)
\(I_2 = 0\) のとき、
\[
V_1 = Z_{11}I_1
\]
\[
Z_{11} = Z_a + Z_b
\]
(ii)
\(I_1 = 0\) のとき、
\[
V_2 = Z_{22}I_2
\]
\[
Z_{22} = Z_b + Z_c
\]
(iii)
\(V_2 = 0\) のとき、
回路より、
\[
\begin{align}
-I_2 &= \frac{Z_b}{Z_b + Z_c}I_1 \tag{①}
\end{align}
\]
\[
0 = Z_{21}I_1 + Z_{22}I_2
\]
\[
\begin{align}
-I_2 &= \frac{Z_{21}}{Z_{22}}I_1 \tag{②}
\end{align}
\]
①、②から、
\[
\begin{aligned}
\frac{Z_{21}}{Z_{22}} &= \frac{Z_b}{Z_b + Z_c} \\
Z_{21} &= \frac{Z_b}{Z_b + Z_c} Z_{22} = Z_b
\end{aligned}
\]
(iv)
\(V_1 = 0\) のとき、
\(0 = Z_{11}I_1 + Z_{12}I_2\)
\[
\begin{align}
-I_1 = \frac{Z_{12}}{Z_{11}}I_2 \tag{③}
\end{align}
\]
回路より、
\[
\begin{align}
-I_1 = \frac{Z_b}{Z_a + Z_b}I_2 \tag{④}
\end{align}
\]
③、④から、
\[
Z_{12} = \frac{Z_b}{Z_a + Z_b}Z_{11} =Z_b
\]
\((c)\) の回路のインピーダンス行列 \(Z\) は以下で表せる
\[
Z = \begin{bmatrix}
Z_{11} & Z_{12} \\
Z_{21} & Z_{22} \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
Z_a + Z_b & Z_b \\
Z_b & Z_b + Z_c \\
\end{bmatrix}
\]
よって、(1) の答えから、
\[
E_0 = \frac{Z_{21}}{Z_G + Z_{11}} E = \frac{Z_b}{Z_G + Z_a + Z_b}E
\]
\[
Z_0 = Z_{22} = \frac{Z_{12}Z_{21}}{Z_G + Z_{11}} = Z_b + Z_c - \frac{Z_b^2}{Z_G + Z_a + Z_b}
\]
【問 3】
(1)
\[
\begin{aligned}
R_0J &= [R_0 + jX_1 // jX_2 + R_L]I_0 \\
R_0J &= [R_0 + \frac{jX_1(R_L + jX_2)}{R_L + j(X_1 + X_2)}]I_0 \\
I &= \frac{jX_1}{jX_1 + R_L + jX_2}I_0 \\
I &= \frac{jX_1}{R_L + j(X_1 + X_2)} \times \frac{R_L + j(X_1 + X_2)}{R_0R_L + jR_0(X_1 + X_2) + jR_LX_1 - X_1X_2}R_0J \\
I &= \frac{jX_1R_0}{R_0R_L - X_1X_2 + j[R_0 + (X_1 + X_2) + R_LX_1]}J \\
\end{aligned}
\]
\[
P = \text{Re}[P_c] = \frac{R_0^2R_LX_1^2}{(R_0R_L - X_1X_2)^2 + [R_0(X_1 + X_2) + R_LX_1]^2} |J|^2
\]
(2)
(a)
\[
\begin{aligned}
\frac{jX_1(R_L + jX_2)}{R_L + j(X_1 + X_2)} &= R_0 \\
jX_1(R_L + jX_2) &= R_0R_L + jR_0(X_1 + X_2)
\end{aligned}
\]
実部、虚部を比較
\[
\left \{
\begin{align}
-X_1X_2 &= R_0R_L \tag{①} \\
X_1R_L &= R_0(X_1 + X_2) \tag{②} \\
\end{align}
\right.
\]
② より、
\[
\begin{align}
X_1 = -\frac{R_0}{R_0 - R_L}X_2 \tag{③}
\end{align}
\]
③ を ① に代入
\[
\begin{aligned}
\frac{R_0}{R_0 - R_L}X_2^2 &= R_0R_L \\
X_2^2 &= R_L(R_0 - R_L) \\
X_2 &= \pm\sqrt{R_L(R_0 - R_L)} \\
X_1 & = \mp R_0\sqrt{\frac{R_L}{R_0 - R_L}}
\end{aligned}
\]
以上から、
\[
X_1 = \mp R_0\sqrt{\frac{R_L}{R_0 - R_L}}
\]
\[
X_2 = \pm\sqrt{R_L(R_0 - R_L)}
\]
(b)
\(X_1\): 固定 \(X_2\): 可変
分母が最小となるとき、\(P\) は最大となる
分母を \(X_2\) を度数とする関数 \(f(X_2)\) としたとき、 \(f(X_2)\) の \(X_2\) で微分したものが０かつ \(f(X_2)\) の \(X_2\) の \(2\) 階微分が正のときの \(X_2\) が求めるものである
\[
\frac{\partial}{\partial X_2} \cdot f(X_2) = 2(R_0R_L - X_1X_2) \cdot (-X_1) + 2[R_0(X_1 + X_2) + R_LX_1] R_0 = 0
\]
\[
\begin{aligned}
X_1(X_1X_2 - R_0R_L) + R_0^2(X_1 + X_2) + R_0R_LX_1 &= 0 \\
X_1^2X_2 + R_0^2X_1 R_0^2X_2 &= 0 \\
X_2(X_1^2 + R_0^2) &= -R_0^2X_1 \\
X_2 &= -\frac{R_0^2}{X_1^2 + R_0^2}X_1
\end{aligned}
\]
\[
\frac{\partial}{\partial X_2^2} \cdot f(X_2) = 2X_1^2 + 2R_0^2 > 0
\]
よって、
\[
X_2 = - \frac{R_0^2}{X_1^2 + R_0^2}X_1
\]
©
\(P(X_1)\) について、\(\frac{\partial}{\partial X_1} \cdot P(X_1) = 0,\frac{\partial^2}{\partial X_1^2} \cdot P(X_1) > 0\) を満たす条件を見つける
【問 4】
(1)
回路より、
\[
\begin{align}
E = Ri_0(t) + L\frac{di(t)}{dt} \tag{①} \\
i_0(t) = i(t) + \frac{dq(t)}{dt} \tag{②} \\
\frac{q(t)}{C} = L\frac{di(t)}{dt} \Leftrightarrow q(t) = CL\frac{di(t)}{dt} \Leftrightarrow \frac{dq(t)}{dt} = CL\frac{di(t)^2}{dt^2} \tag{③}
\end{align}
\]
② を ① に代入 ( \(i_0(t)\)を消去 )
\(E = R[i(t) + \frac{dq{t}}{dt}] + L\frac{di(t)}{dt}\)
\(\frac{E}{R_C L} = \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{R_C} \cdot \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{CL}i(t)\)
\(i(t) = i_s + i_c\)
\(\frac{E}{R_C L} = \frac{1}{CL}i_s \Leftrightarrow i_s = \frac{E}{R}\)
\(0 = \frac{d^2i(t)}{dt^2} + \frac{1}{R_C}\frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{CL}i(t)\)
\(i_c(t) = Ae^{\lambda t}\)
\(0 = \lambda^2 + \frac{1}{R_C}\lambda + \frac{1}{CL}\)
\(R = 2,C = \frac{1}{6},L = 3\) に代入
\(0 = \lambda^2 + 3\lambda + 2\)
\(\lambda = -1、-2\)
\(i_c(t) = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}\)
\(i(t) = \frac{E}{R} + C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}\)
\(i(t) = \frac{1}{2}E + C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}\)
\(E = 2\) より、
\(i(t) = 1 + C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}\)
\(i(0) = 0\) より、
\(0 = 1 + C_1 + C_2\)
\(\frac{di(t)}{dt} = -C_1e^{-t} - 2C_2e^{-2t}\)
\(\frac{di(t)}{dt} = \frac{1}{CL}q(t)\)
\(\frac{di(0)}{dt} = 2q(0) = 0\)
\(0 = -C_1 - 2C_2\)
\(C_1 = -2 .C_2 = 1\)
よって、\(i(t) = 1 - 2e^{-t} + e^{-2t}[A]\)
(2)
\(i(t) = \frac{1}{2}E + C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}\)
\(E = 8\) より、
\(i(t) = 4 + C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}\)
\(t = 0\) のとき、\(i(0) = 0\)
\(0 = 4 + C_1 + C_2\)
\(\frac{di(t)}{dt} = -C_1e^{-t} - 2C_2e^{-2t}\)
\(\frac{di(0)}{dt} = 2q(0) = 2 \times 4 \times \frac{1}{6} = \frac{4}{3}\)
\(\frac{4}{3} = -C_1 - 2C_2\)
\(C_1 = -\frac{20}{3},C_2 = \frac{8}{3}\)
\(i(t) = 4 - \frac{20}{3}e^{-t} + \frac{8}{3}e^{-2t}[A]\)