京都大学 理学研究科 数学・数理解析専攻 2024年度 基礎科目 [1] ~[3]
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[2]
\(a\) を実数とし, 実 \(2 \times 4\) 行列 \(A, B\) を
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix},
\ \ \
B = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0
\end{pmatrix}
\]
と定める. これらを用いて, 線形写像 \(f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2\), \(g: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2\) を \(f(x) = Ax\), \(g(x) = Bx \ \ (x \in \mathbb{R}^4 )\) と定義する. このとき,
\[
\text{dim}(\text{Ker}(f) \cap \text{Ker}(g)),\ \text{dim}(\text{Ker}(f) + \text{Ker}(g))
\]
を求めよ.
Kai
[2]
\(\mathrm{Ker}(f)\) を求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a+1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
\alpha &= -a \gamma - (a+1) \delta
, \\
\beta &= - \gamma - \delta
\end{aligned}
\]
となるので、
\[
\begin{aligned}
u_1 = \begin{pmatrix} -a \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
u_2 = \begin{pmatrix} -(a+1) \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
は \(\mathrm{Ker}(f)\) の基底であることがわかる。
また、 \(\mathrm{Ker}(g)\) を求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 3-a & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、
\[
\begin{aligned}
\delta &= - \gamma
, \\
\alpha &= 3 \beta + (3-a) \gamma
\end{aligned}
\]
となるので、
\[
\begin{aligned}
v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
, \ \
v_2 = \begin{pmatrix} 3-a \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
は \(\mathrm{Ker}(g)\) の基底であることがわかる。
そこで、実数 \(r,s,t\) について \(r u_1 = s v_1 + t v_2\) が成り立つとすると \(r=s=t=0\) を得るので、 \(u_1 \notin \mathrm{Ker}(g)\) がわかる。
同様に、 \(r u_2 = s v_1 + t v_2\) が成り立つとすると \(r=s=t=0\) を得るので、 \(u_2 \notin \mathrm{Ker}(g)\) もわかる。
よって、
\[
\begin{aligned}
\mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Ker}(g) \right)
&= 0
, \\
\mathrm{dim} \left( \mathrm{Ker}(f) + \mathrm{Ker}(g) \right)
&= 4
\end{aligned}
\]
がわかる。