京都大学 理学研究科 化学専攻 2023年度 物理学 基礎
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Kai
問 A
\(-V/d\)
問 B
\(\vec{v} \times \vec{B} = (v_yB, -v_xB, 0)\) なので、 \(x,y\) 成分の運動方程式は
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} v_x
&= \frac{-e}{m} \left( - \frac{V}{d} + v_yB \right)
\\
&= \omega A - \omega v_y
\\
\frac{d}{dt} v_y
&= \frac{-e}{m} \left( - v_xB \right)
\\
&= \omega v_x
\end{aligned}
\]
となる。
問 C
虚数単位を \(i\) とすると、問 B の運動方程式から、
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} (v_x + iv_y)
&= \omega A - \omega v_y + i \omega v_x
\\
&= i \omega (v_x + i v_y - iA)
\end{aligned}
\]
が得られるので、 \(\xi = v_x + iv_y - iA\) とおくと、
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dt} \xi &= i \omega \xi
\end{aligned}
\]
となるので、これを積分すると、
\[
\begin{aligned}
\xi &= c e^{i \omega t}
\ \ \ \ \ \ \ \ ( c \text{ は積分定数 } )
\end{aligned}
\]
を得る。 \(t=0\) のとき \(v_x=0, v_y=0\) であり \(\xi=-iA\) であるから、 \(c=-iA\) であり、
\[
\begin{aligned}
\xi &= -iA e^{i \omega t}
\\
\therefore \ \
v_x + iv_y - iA &= -iA \left( \cos \omega t + i \sin \omega t \right)
\\
\therefore \ \
v_x + iv_y &= A \sin \omega t + iA \left( 1 - \cos \omega t \right)
\end{aligned}
\]
となって、式 (6), (7) が得られる。
問 D
式 (6) を積分すると、
\[
\begin{aligned}
x = - \frac{A}{\omega} \cos \omega t + c
\ \ \ \ \ \ \ \ ( c \text{ は積分定数 })
\end{aligned}
\]
となるが、 \(t=0\) のとき \(x=0\) であるから、 \(c=A/\omega\) であり、
\[
\begin{aligned}
x = \frac{A}{\omega} (1 - \cos \omega t)
\end{aligned}
\]
を得る。
問 E
（あ）
問 F
(a)
式 (8) によると \(x\) の最大値は \(2A/\omega\) であるから、求める \(B_c\) は
\[
\begin{aligned}
\frac{2A}{\omega} = d
\end{aligned}
\]
が成り立つときの \(B\) であり、
\[
\begin{aligned}
B_c = \frac{1}{d} \sqrt{\frac{2mV}{e}}
\end{aligned}
\]
がわかる。
(b)
定常運動のとき、式 (10) は次のようになる：
\[
\begin{aligned}
0 &= \omega A - \omega v_y - \frac{1}{\tau} v_x
\\
0 &= \omega v_x - \frac{1}{\tau} v_y
\end{aligned}
\]
電子の速度方向とx軸とのなす角が45°になるということは \(v_x=v_y\) ということであり、 2番目の式から、 \(\tau = 1 / \omega\) を得る。