Kyoto-University
京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2019年8月実施 専門科目 確率統計
Author Miyake
Description 日本語版
問題1
確率変数 \(X\) の確率分布が以下の確率密度関数で与えられたとき、\(X\) の期待値と分散を求めなさい。\(\mu\) は実定数である。
\[
f(x) = \left\{
\begin{aligned}
&\frac{1}{\sqrt{2\pi}x} \exp \big(-\frac{1}{2} (\log x - \mu)^2\big), &x > 0 \\
&0, &x \le 0
\end{aligned}
\right.
\]
問題2
確率密度 \(X\) は確率密度関数
\[
f(x; \mu) = \left\{
\begin{aligned}
&\frac{1}{\mu} \exp \big(-\frac{x}{\mu} \big), &x > 0 \\
&0, &x \le 0
\end{aligned}
\right.
\]
の指数分布にしたがう。ただし \(\mu > 0\) はパラメータである。以下の設問に答えなさい。
(1) パラメータ \(\mu\) は未知とする。
(1-1) \(X\) に基づく \(\mu\) の最尤推定量 \(\hat{\mu}\) を求めよ。
(1-2) \(\hat{\mu}\) が \(\mu\) の不偏推定量であることを示せ。
(1-3) ある定数 \(\mu_0 > 0\) に対して、帰無仮説 \(H_0: \mu=\mu_0\) 、対立仮説 \(H_1: \mu > \mu_0\) の仮設検定を有意水準 \(\alpha (0 < \alpha < 1)\) で行いたい。そのための定数 \(c>0\) を定めておき、 \(X > c\) のとき帰無仮説を棄却する。定数 \(c\) を求めよ。
(1-4) ある関数 \(L: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) を用いた集合 \(S(x) = \{z \mid z \ge L(x)\} \subsetneq \mathbb{R}\) を定義する。このとき \(P(\mu \in S(X)) = 1 - \alpha\) となるように関数 \(L(x)\) を定めよ。ただし \(P(A)\) は事象 \(A\) の確率を表し、\(0 < \alpha < 1\) は定数である。
(2) 機械Mは \(2\) 個の部品で構成されており、Mの運転開始から部品 \(i\) が故障するまでの経過時間を確率変数 \(X_i\) で表す \((i = 1,2)\) 。 \(X_1, X_2\) は独立に確率密度関数 \(f(x; \mu)\) の指数分布にしたがう。ただし \(\mu=1\) とする。
(2-1) \(2\) 個の部品のいずれか故障するとMは警告を発する。このとき、Mの運転開始からMが警告を発するまでの経過時間を確率変数 \(U\) で表す、\(U\) の確率密度関数を求めよ。
(2-2) \(2\) 個の部品が共に故障したらMは停止する。このとき、Mの運転開始からMの停止するまでの経過時間を確率変数 \(V\) で表す。\(V\) の確率密度関数を求めよ。
(2-3) 上で定義した \(U, V\) の同時確率密度関数を求めよ。
Kai 問題1
\(y = \log x\) とおくと、
\(x = \exp(y), dx = \exp(y) dy\) である。
期待値を \(E\) , 分散を \(V\) で表して、次のように計算する：
\[
\begin{aligned}
E(X)
&=
\int_0^\infty x f(x) dx
\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
\int_0^\infty
\exp \left[ - \frac{1}{2} \left( \log x - \mu \right)^2 \right]
dx
\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
\int_{- \infty}^\infty
\exp \left[ - \frac{1}{2} \left( y - \mu \right)^2 \right]
\exp(y) dy
\\
&=
\frac{\exp \left( \mu + \frac{1}{2} \right) }{\sqrt{2 \pi}}
\int_{- \infty}^\infty
\exp \left[ - \frac{1}{2} \left\{ y - (\mu + 1) \right\}^2 \right]
dy
\\
&=
\exp \left( \mu + \frac{1}{2} \right)
\\
E \left( X^2 \right)
&=
\int_0^\infty x^2 f(x) dx
\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
\int_0^\infty
x
\exp \left[ - \frac{1}{2} \left( \log x - \mu \right)^2 \right]
dx
\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
\int_{- \infty}^\infty
\exp \left[ - \frac{1}{2} \left( y - \mu \right)^2 \right]
\exp(2y) dy
\\
&=
\frac{\exp \left( 2 \mu + 2 \right) }{\sqrt{2 \pi}}
\int_{- \infty}^\infty
\exp \left[ - \frac{1}{2} \left\{ y - (\mu + 2) \right\}^2 \right]
dy
\\
&=
\exp \left( 2 \mu + 2 \right)
\\
V(X)
&=
E \left( X^2 \right) - E(X)^2
\\
&=
\exp \left( 2 \mu + 2 \right)
- \exp \left( 2 \mu + 1 \right)
\\
&=
\exp \left( 2 \mu + 1 \right) (e-1)
\end{aligned}
\]
問題2
(1)
(1-1)
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d \mu} \log f(x;\mu)
&=
\frac{d}{d \mu} \log
\left[ \frac{1}{\mu} \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right]
\\
&=
\frac{d}{d \mu} \left( - \log \mu - \frac{x}{\mu} \right)
\\
&=
- \frac{1}{\mu} + \frac{x}{\mu^2}
\\
&=
\frac{\mu - x}{\mu^2}
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\hat{\mu} = X
\end{aligned}
\]
(1-2)
期待値を \(E\) を表すと、
\[
\begin{aligned}
E(X)
&=
\int_0^\infty x f(x; \mu) dx
\\
&=
\frac{1}{\mu}
\int_0^\infty x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) dx
\\
&=
- \left[ x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right]_0^\infty
+ \int_0^\infty x \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) dx
\\
&=
- \mu \left[ \exp \left( - \frac{x}{\mu} \right) \right]_0^\infty
\\
&= \mu
\end{aligned}
\]
であるから、
\(E(\hat{\mu}) = \mu\) であり、
\(\hat{\mu}\) は \(\mu\) の不偏推定量である。
(1-3)
\(\alpha\) と \(c\) は次のように関係付けられる：
\[
\begin{aligned}
\alpha
&=
\int_c^\infty f(x; \mu_0) dx
\\
&=
\frac{1}{\mu_0}
\int_c^\infty \exp \left( - \frac{x}{\mu_0} \right) dx
\\
&=
- \left[ \exp \left( - \frac{x}{\mu_0} \right) \right]_c^\infty
\\
&=
\exp \left( - \frac{c}{\mu_0} \right)
\\
\therefore \ \
c &= - \mu_0 \log \alpha
\end{aligned}
\]
(1-4)
(2)
(2-1)
まず、確率を \(P\) で表すと、
\[
\begin{aligned}
P (a \leq X_i \leq b)
&=
\int_a^b f(x; 1) dx
\\
&=
\int_a^b \exp (-x) dx
\\
&=
- \left[ \exp (-x) \right]_a^b
\\
&=
\exp (-a) - \exp (-b)
\end{aligned}
\]
である。
\(U\) の確率密度関数 \(f_U(u)\) を求めるために、次のように計算する：
\[
\begin{aligned}
P (U \leq u)
&=
P(X_1 \leq u \text{ and } X_2 \leq u)
+ P(X_1 \leq u \lt X_2) + P(X_2 \leq u \lt X_1)
\\
&=
P(X_1 \leq u) P(X_2 \leq u)
+ P(X_1 \leq u) P(u \lt X_2) + P(X_2 \leq u) P(u \lt X_1)
\\
&=
\left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 - \exp (-u) \right)
+ \left( 1 - \exp (-u) \right) \exp (-u)
+ \left( 1 - \exp (-u) \right) \exp (-u)
\\
&=
1 - \exp (-2u)
\\
\therefore \ \
f_U(u)
&=
\frac{d}{du} P (U \leq u)
\\
&=
\frac{d}{du} \left( 1 - \exp (-2u) \right)
\\
&=
2 \exp (-2u)
\end{aligned}
\]
(2-2)
\(V\) の確率密度関数 \(f_V(v)\) を求めるために、次のように計算する：
\[
\begin{aligned}
P (V \leq v)
&=
P(X_1 \leq v \text{ and } X_2 \leq v)
\\
&=
P(X_1 \leq v) P(X_2 \leq v)
\\
&=
\left( 1 - \exp (-v) \right)^2
\\
\therefore \ \
f_V(v)
&=
\frac{d}{dv} P (V \leq v)
\\
&=
\frac{d}{dv} \left( 1 - \exp (-v) \right)^2
\\
&=
2 \exp (-v) \left( 1 - \exp (-v) \right)
\end{aligned}
\]
(2-3)
\(U,V\) の同時確率密度関数 \(f(u,v)\) を求めるために、次の2通りを考える。
(i) \(v \lt u\) のとき、
\[
\begin{aligned}
P (U \leq u \text{ and } V \leq v)
&=
P (V \leq v)
\\
&=
\left( 1 - \exp (-v) \right)^2
\\
\therefore \ \
f(u,v)
&=
\frac{\partial}{\partial u}
\frac{\partial}{\partial v}
P (U \leq u \text{ and } V \leq v)
\\
&= 0
.
\end{aligned}
\]
(ii) \(u \leq v\) のとき、
\[
\begin{aligned}
P (U \leq u \text{ and } V \leq v)
&=
P(X_1 \leq u \text{ and } X_2 \leq u)
+ P(X_1 \leq u \lt X_2 \leq v) + P(X_2 \leq u \lt X_1 \leq v)
\\
&=
P(X_1 \leq u) P(X_2 \leq u)
+ P(X_1 \leq u) P(u \lt X_2 \leq v) + P(X_2 \leq u) P(u \lt X_1 \leq v)
\\
&=
\left( 1 - \exp (-u) \right) \left( 1 - \exp (-u) \right)
+ \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( \exp (-u) - \exp (-v) \right)
+ \left( 1 - \exp (-u) \right) \left( \exp (-u) - \exp (-v) \right)
\\
&=
\left( 1 - \exp (-u) \right)
\left( 1 + \exp (-u) - 2 \exp (-v) \right)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\therefore \ \
f(u,v)
&=
\frac{\partial}{\partial u}
\frac{\partial}{\partial v}
P (U \leq u \text{ and } V \leq v)
\\
&=
2 \exp(-(u+v))
.
\end{aligned}
\]