Kyoto-University
京都大学 情報学研究科 システム科学専攻 2016年8月実施 専門科目 確率統計
Author uogxtc
Description 問題1
下記の確率密度関数にしたがう確率変数 \(X\) について、以下の設問に答えよ。
ただし、\(\alpha > 0\) , \(\beta > 0\) はパラメータ（母数）である。
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta^\alpha} \exp \left( - \left( \frac{x}{\beta} \right)^\alpha \right) & (x > 0) \\
0 & (x \leq 0)
\end{cases}
\]
(1) 確率変数 \(X\) の平均を、以下のガンマ関数とパラメータを用いて表せ。
\[
\Gamma(\theta) = \int_0^\infty x^{\theta-1} e^{-x} dx \quad (\theta > 0)
\]
(2) 確率密度関数 \(f(x)\) が規定する確率分布から、大きさ \(n\) の無作為標本
\[
\{X_1, X_2, \ldots, X_n\}
\]
が得られたとする。このとき、パラメータ \(\alpha = \alpha_0\) を既知として、パラメータ \(\beta\) の最尤推定量を求めよ。
問題2
以下の設問に答えよ。
(1) \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) を、独立かつ同一の確率分布（確率密度関数を \(f(x)\) 、累積分布関数を \(F(x)\) とする）にしたがう確率変数とする。
このとき、\(X_1, X_2, \ldots, X_n\) の最小値
\[
Z = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n)
\]
もまた確率変数となるが、その確率密度関数 \(g(z)\) を \(f\) と \(F\) を用いて表せ。
(2) 設問 (1) の \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) の確率分布が区間 \([0, b]\) の一様分布 \((b > 0)\) であるとき、
\[
Z = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n)
\]
の期待値を求めよ。
問題3
以下の設問に答えよ。
(1) 半径 \(a\) の円 \(C\) 内に、2 点 \(A,B\) を独立かつそれぞれ円 \(C\) 内の一様分布にしたがうようにとる。
\(AB\) 間の距離を \(R\) としたとき、\(R^2\) の期待値を求めよ。
(2) 設問 (1) において、点 \(A\) を中心とし \(AB\) 間の距離 \(R\) を半径とする円が、円 \(C\) 内に全て含まれる確率を求めよ。
Kai 問題1
(Readers may refer to Weibull distribution.)
(1)
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[X]&=\int_0^\infty xf(x)dx\\
&=\int_0^\infty\alpha\left(\frac x\beta\right)^\alpha e^{-\left(\frac x\beta\right)^\alpha}dx.
\end{aligned}
\]
Let \(u=\left(\frac x\beta\right)^\alpha\) and we have
\[
\begin{aligned}
&\beta u^{1/\alpha}=x \\
&dx=\frac\beta\alpha u^{\frac1\alpha-1}du,
\end{aligned}
\]
Then
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[X]&=\beta\int_{0}^{\infty}u^{\frac{1}{\alpha}}e^{-u}du\\
&=\beta\Gamma\left(\frac{1}{\alpha}+1\right).
\end{aligned}
\]
(2)
The likelihood function is
\[
L(\beta)=\prod_{i=1}^n\frac{\alpha_0X_i^{\alpha_0-1}}{\beta^{\alpha_0}}e^{-\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha_0}},
\]
from which we know that the log-likelihood function is
\[
\log L=n\log\alpha_{0}-n\alpha_{0}\log\beta+(\alpha_{0}-1)\sum_{i=1}^{n}\log X_{i}-\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}}{\beta}\right)^{\alpha_{0}}.
\]
By setting \(\frac{\partial\log L}{\partial\beta}=0\) , we get
\[
\begin{aligned}
&-\:\frac{n\alpha_{0}}{\beta}-\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}}{\beta}\right)^{\alpha_{0}-1} \left(-\frac{1}{\beta^{2}}\right)=0,\\
&\Rightarrow\quad\hat{\beta}=\left(\frac{\sum_{i-1}^{n}X_{i}^{\alpha_{0}-1}}{n\alpha_{0}}\right)^{1/\alpha_{0}}.
\end{aligned}
\]
問題2
(1)
(The problems of the CDF/PDF of min/max of \(i.i.d.\) random variables are commonly seen in the exams.)
The cumulative distribution function (CDF, 累積分布関数) of \(Z\) is as follows:
\[
\begin{aligned}
\Pr(Z<s)&=1-\Pr(Z\geq s)\\
&=1-\Pr(X_1\geq s,\ldots,X_n\geq s)\\
&=1-\prod_{i=1}^n\left(1-F(s)\right)\\
&=1-\left(1-F(s)\right)^n.
\end{aligned}
\]
The probability density function (PDF,確率密度関数) is
\[
f_Z(s)=\frac{d\Pr(Z<s)}{ds}=n(1-F(s))^{n-1}f(s).
\]
(2)
The PDF of \(X_i\) is
\[
f(x)=\begin{cases}
1/b,&\text{if }\ 0<x<b \\
0,&\text{otherwise.}
\end{cases}
\]
Then,
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[Z]&=\int_0^bxf_Z(x)dx\\
&=\int_0^b\frac nbx\left(1-\frac xb\right)^{n-1}dx\\
&(\text{let }y=1-\frac xb)\\
&=\int_0^1\frac nb\cdot(b-by)y^{n-1}(-b)dy\\
&=\frac b{n+1}.
\end{aligned}
\]
問題3
(1)
Suppose that \(A\) = \((r_A, \theta _A)\) and \(B\) = \((r_B,\theta_B)\) , where \(r_A,r_B \sim \text{Unif}(0,a)\) and \(\theta_A,\theta_B \sim \text{Unif} ( 0, 2\pi ).\)
Then
\[
R^2=r_A^2+r_B^2-2r_Ar_B\cos(\theta_A-\theta_B),
\]
\[
\begin{aligned}
\mathbb{E}[R^{2}]&=\frac{1}{2a^{2}\pi}\int_{0}^{a}\int_{0}^{a}\int_{0}^{2\pi}(r_{A}^{2}+r_{B}^{2}-2r_{A}r_{B}\cos\theta)\ d\theta \cdot r_{A}dr_{A}\cdot r_{B}dr_{B}\\
&=a^{4}/4.
\end{aligned}
\]
(2)
The probability is
\[
\frac{1}{\pi a^2}\int_0^a2\pi r\cdot \frac{(a-r)^2}{a^2}dr.
\]
Here \(\frac{2\pi r}{\pi a^2}\) is the probability that \(A\) lies in a circle centered with \(C\) of radius \(r\) .
Suppose that the distance between \(A\) and the center of the circle is \(r\) .
Then \(B\) needs to lies in a circle whose center is \(A\) and radius is \((a-r)^2\) .
The probability of this event is \(\frac{(a-r)^{2}}{a^{2}}\) since the \(A,B\) are uniformly distributed on the circle.