京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2021年8月実施 専門科目 S-2

Author

Isidore

Description

設問1

\(x_1, x_2, \ldots, x_n\) が互いに独立に正規分布 \(N(\mu, 4^2)\) に従う時、帰無仮説
\(H_0 : \mu = \mu_0\)、対立仮説 \(H_1 : \mu > \mu_0\)。 有意水準 \(\alpha = 0.05\) の片側検定を考える。 確率変数 \(X\) が標準正規分布に従う時、確率 \(\Pr[X \leq 1.645] = 0.95\) であることを用いてよい。

(1) \(\mu - \mu_0 = 1.2, n = 16\) のときの検出力を考える。検出力は、確率変数 \(Z\) が標準正規分布に従う時、確率 \(\Pr[Z \geq z]\) として表すことができる。そのときの \(u\) の値を求めよ。

(2) \(\mu - \mu_0 = 1.2\) のとき検出力を \(95\%\) 以上にする \(n\) の最小値を求めよ。

設問2

製造法 \(A\) と \(B\) があり、製造法 \(A\) では製品の不良率は \(p\) である。

(1) \(p = 0.5\) のとき製造法 \(A\) で \(8\) 個製造した。不良品が \(1\) 個以下になる確率を求めよ。

(2) \(p = 1/4000\) のとき製造法 \(A\) で \(10,000\) 個製造した。不良品が発生しない確率を求めよ。また、ポアソン分布 \(\Pr[X = r] = \lambda^r \exp(-\lambda)/r!\) を用いた近似により得られる確率を求めよ。

(3) 製造法 \(B\) で \(100\) 個製造したところ不良品が \(60\) 個であった。製造法 \(A\) の不良率が \(p = 0.5\) のとき、製造法 \(B\) の不良率が製造法 \(A\) と異なるかを有意水準 \(\alpha = 0.05\) で両側検定せよ。確率変数 \(X\) が標準正規分布に従う時、確率 \(\Pr[X \leq 1.96] = 0.975\) であることを用いてよい。

設問3

2つの確率変数 \(X\) と \(Y\) に関して、期待値と分散が次のようになっている。

\[ E[X] = 3.0, \ E[Y] = 4.0, \ E[XY] = 12.3, \ V[X] = 1.0, \ V[Y] = 1.0 \]

(1) \(X\) と \(Y\) のそれぞれの二乗の期待値 \(E[X^2], E[Y^2]\) と \(X\) と \(Y\) の共分散 \(\text{Cov}[X, Y]\) を答えよ。

(3) \(X\) と \(Y\) にそれぞれ次の一次変換を施して新しい確率変数 \(U\) と \(V\) を作った。

\[ U = 5X - 3, \ V = -3Y + 2 \]

\(U\) と \(V\) の共分散 \(\text{Cov}[U, V]\) と相関係数 \(r[U, V]\) を答えよ。

Kai

設問1

(1)

According to the rule of Power analysis, we have the Statistical Power:

\[ \begin{aligned} 1-\beta &= 1 - \Pr[\textrm{accept } H_0|H_0 \textrm{ is false}] \\ &= 1-\Pr[\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \leq Z_{\alpha}] \\ &= 1-\Pr[\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq Z_{\alpha} - \frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}] \\ &= \Pr[\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \geq Z_{\alpha} - \frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}] \end{aligned} \]

and \(u = Z_{\alpha} - \frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\). Hence we have

\[ u = Z_{\alpha} - \frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = 1.645 - \frac{1.2}{4/\sqrt{16}} = 0.445 \]

(2)

By (1), we have

\[ \begin{aligned} 1-\beta &= Pr[\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \geq Z_{\alpha} - \frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}] \end{aligned} \]

To make sure the power larger than \(95\%\), we have

\[ Z_{\alpha} - \frac{\mu-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \leq Z_{0.95} = -Z_{0.05} = -1.645 \]

\[ \sqrt{n} \geq \frac{Z_{\alpha} + Z_{0.05}}{\mu-\mu_0}\sigma \approx 10.967 \\ n \geq 10.967^2 = 120.27 \]

Hence the minimum value of \(n\) is \(121\).

設問2

(1)

\[ \Pr = \textrm{C}^0_8(p)^0(1-p)^8+\textrm{C}^1_8(p)^1(1-p)^7 = \frac{9}{256} \]

(2)

\[ \Pr = \textrm{C}^0_{10000}(p)^0(1-p)^{10000} \]

The approximation PMF is \(\Pr[X=r] = (\frac{5}{2})^r\frac{e^{-\frac{5}{2}}}{r!}\). So the answer is

\[ \Pr[X=0] = e^{-\frac{5}{2}} \]

(3)

Let \(p_0\) denote the defective rate of \(B\). We design a test where the null hypothesis \(H_0\) is \(p_0 = p\) and the alternative hypothesis \(H_1\) is \(p_0 \neq p\).

The statistic \(Z = \frac{\bar{p} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\) follow the standard normal distribution. By using the significance level \(\alpha = 0.05\), the rejection region is

\[ Z \geq Z_{\frac{\alpha}{2}} \textrm{ or } Z \leq -Z_{\frac{\alpha}{2}} \]

which is

\[ Z = 2 > Z_{0.025} = 1.96 \]

So we reject \(H_0\) and accept \(H_1\), i.e., the defect rate of \(B\) is not the same as \(A\).

設問3

(1)

\[ \begin{aligned} &E[X^2] = V[X] + E^2[X] = 10 \\ &E[Y^2] = V[Y] + E^2[Y] = 17 \\ &\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0.3 \end{aligned} \]

(2)

\[ \begin{aligned} \text{Cov}[U,V] &= \text{Cov}[5X-3, -3Y+2] \\ &= -15\text{Cov}[X, Y] + 10\text{Cov}[X, 1] + 9\text{Cov}[1, Y] - 6\text{Cov}[1, 1] \\[0.7em] &= -15\text{Cov}[X, Y] = -15\cdot 0.3 = -4.5 \end{aligned} \]

\[ r[U, V] = \frac{\text{Cov}[U,V]}{\sqrt{V[U]}\sqrt{V[V]}} = \frac{-4.5}{5.0\cdot 3.0} = -0.3 \]