京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2020年8月実施 情報学基礎 F1-2
Author
祭音Myyura
Description
設問1
下記の問いに答えよ。
(1) \(x+y=3\) のもとで、\(x^2+y^2\) の最小値を求めよ。
(2) \(x^2+y^2=1\) のもとで、\(xy+x\) の最小値を求めよ。
設問2
以下の積分を求めよ。
(1) \(\int_0^{\infty} e^{-x}xdx\)
(2) \(\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^3dx\)
(3) \(\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^{15}dx\)
Kai
設問1
(1)
\(g(x,y) = x+y-3, f(x,y)=x^2+y^2\) とおくと、ラグランジュ関数 \(L(x,y,\lambda)\)
\[
\begin{aligned}
L(x, y, \lambda) &= f(x,y) - \lambda g(x, y) \\
&= x^2 + y^2 - \lambda (x + y - 3)
\end{aligned}
\]
それぞれの変数に対して偏微分すると，
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial x} &= 2x - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} &= 2y - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= x+y-3 = 0
\end{aligned}
\]
よって、\(x = y = \frac{3}{2}\)、最小値は \(\frac{9}{2}\)。
(2)
\(g(x,y)=x^2+y^2-1, f(x,y)=xy + x\) とおくと、ラグランジュ関数 \(L(x,y,\lambda)\)
\[
\begin{aligned}
L(x, y, \lambda) &= f(x,y) - \lambda g(x, y) \\
&= xy + x - \lambda (x^2 + y^2 - 1)
\end{aligned}
\]
それぞれの変数に対して偏微分すると，
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial L}{\partial x} &= y+1 - 2\lambda x = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} &= x - 2\lambda y = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= -x^2-y^2+1 = 0
\end{aligned}
\]
よって、
\[
(x,y) = (0, -1),~(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})
\]
\[
f(0, -1) = 0,\quad f(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{4},\quad f(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}
\]
したがって，求める最小値は \(-\frac{3\sqrt{3}}{4}\) です。
設問2
(1)
\[
\begin{aligned}
I_n &= \int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}dx \\
&= \int_{0}^{\infty} x^n (-\frac{1}{a}e^{-ax})'dx \\
&= -\frac{1}{a}\left[ x^n e^{-ax}\right]{0}^{\infty} + \frac{n}{a} \int{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-ax}dx \\
&= \frac{n}{a} I_{n-1}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
I_0 = \int_{0}^{\infty} e^{-ax}dx = \left[ -\frac{1}{a} e^{-ax} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
I_n = \frac{n}{a} I_{n-1} = \frac{n!}{a^n} I_{0} = \frac{n!}{a^{n+1}}
\end{aligned}
\]
\[
\int_0^{\infty} e^{-x}xdx =I_1 = \frac{1!}{1^{(1+1)}} = 1
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
T_{n} &= \int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-a x^{2}} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} x^{(n-1)} \cdot x e^{-a x^{2}} d x \\
&=-\frac{1}{2 a} \int_{0}^{\infty} x^{(n-1)} \left(-2 a x e^{-a x^{2}}\right) d x \\
&=\left[-\frac{1}{2 a} x^{(n-1)} e^{-a x^{2}}\right]{0}^{\infty}-\left(-\frac{1}{2 a}\right) \int{0}^{\infty}(n-1) x^{(n-2)} e^{-a x^{2}} d x \\
&=\frac{n-1}{2 a} \int_{0}^{\infty} x^{(n-2)} e^{-a x^{2}} d x \\
&=\frac{n-1}{2 a} T_{n-2}
\end{aligned}
\]
\(n\) が奇数と偶数で場合分けをすると
\[
\begin{aligned}
T_n &=
\begin{cases}
\displaystyle
\frac{2k-1}{2a}T_{2(k-1)} \quad &(n=2k)\\
\displaystyle
\frac{k}{a}T_{2k-1} \quad &(n=2k+1)
\end{cases}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
T_0 &= \int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\
T_1 &= \int_{0}^{\infty} x e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a}
\end{aligned}
\]
したがって、
\[
\begin{cases}
T_n = \frac{2k-1}{2a}T_{2(k-1)} = \frac{(2k-1)!!}{(2a)^k} T_0 = \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k} \sqrt{\frac{\pi}{a}} &(n=2k) \\
T_n = \frac{k}{a}T_{2k-1} = \frac{k!}{a^k} T_1 = \frac{k!}{a^k}\cdot \frac{1}{2a} = \frac{k!}{2a^{k+1}} &(n=2k+1)
\end{cases}
\]
最後に、
\[
\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^3dx =T_1 = \frac{1!}{2\cdot 1^{1+1}} = \frac{1}{2}
\]
(3)
\[
\int_0^{\infty} e^{-x^2}x^{15}dx = T_7 = \frac{7!}{2\cdot 1^{7+1}} = \frac{7!}{2}
\]