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京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2020年8月実施 情報学基礎 F1-1

Author

Isidore, 祭音Myyura

Description

設問1

以下の問いに答えよ。

(1) 次式で与えられる正方行列 \(D\) の行列式を求めよ。

\[ D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \]

(2) 次式で与えられる正方行列 \(X\) を考える。

\[ X = \begin{pmatrix} 2 & a & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix} \]

ここで、\(a\) および \(b\) は実数とする。 \(X^3 - 5X^2 + 8X - 4E = O\) を満たすとき、\(a\) および \(b\) を求めよ。 ここで、\(E\) および \(O\) はそれぞれ単位行列および零行列を表す。

設問2

ある正方行列 \(A\) が実歪対称行列であり、\(A\) のすべての要素が実数であり、かつ \(A^T = -A\) を満たす場合を言う。 ここで、\(A^T\) は行列の転置を表す。以下の問いに答えよ。

(1) \(2 \times 2\) および \(3 \times 3\) の実歪対称行列の一般形を示せ。

(2) 任意の奇数 \(n\) に対して、\(n \times n\) の実歪対称行列は正則でないことを示せ。

(3) 実歪対称行列のすべての固有値は \(0\) あるいは純虚数であることを示せ。

Kai

設問1

(1)

\[ |D| = 96 \]

(2)

\[ X^2 = \begin{bmatrix} 4 & 4a & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & b^2 \\ \end{bmatrix} \; X^3 = \begin{bmatrix} 8 & 12a & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & b^3 \\ \end{bmatrix} \]

substitute above matrix into the equation, we have

\[ b = 1 \text{ or } b = 2 \]

and \(a\) could be an arbitrary real number.

設問2

(1)

\[ \begin{bmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \\ \end{bmatrix} \; \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \\ \end{bmatrix} \]

(2)

Let \(a_{ij}\) denote the entry in the \(i\)-th row and \(j\)-th column of a matrix \(A\). By the definition of skew-symmetric matrix we know that \(a_{ji} = -a_{ij}\) for any skew-symmetric matrix \(A\), hence the elements on the diagonal of a skew-symmetric matrix are all \(0\) (\(a_{ii} = -a_{ii} \Rightarrow a_{ii} = 0\)). Therefore, the sum of eigenvalues of the matrix is \(0\). Given \(n\) as an odd number, there must be at least one eigenvalue \(\lambda = 0\). Hence the matrix is singular.

(3)

\[ \begin{aligned} A\textbf{x} &=\lambda \textbf{x}\\ \left(A\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}&=\left(\lambda^*\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^TA^T\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-A\right)\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ \left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-\lambda\textbf{x}\right)&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\ -\lambda\|\textbf{x}\|^2&=\lambda^*\|\textbf{x}\|^2\\ -\lambda&=\lambda^*\\ \therefore \Re(\lambda)&=0 \end{aligned} \]

where the notation \(*\) is for complex conjugation. Therefore, the eigenvalues of real skew-symmetric matrices are purely imaginary numbers.