京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2020年8月実施 情報学基礎 F1-1
Author
Isidore, 祭音Myyura
Description
設問1
以下の問いに答えよ。
(1) 次式で与えられる正方行列 \(D\) の行列式を求めよ。
\[
D = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1 \\
3 & 0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix}
\]
(2) 次式で与えられる正方行列 \(X\) を考える。
\[
X = \begin{pmatrix}
2 & a & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & b
\end{pmatrix}
\]
ここで、\(a\) および \(b\) は実数とする。 \(X^3 - 5X^2 + 8X - 4E = O\) を満たすとき、\(a\) および \(b\) を求めよ。
ここで、\(E\) および \(O\) はそれぞれ単位行列および零行列を表す。
設問2
ある正方行列 \(A\) が実歪対称行列であり、\(A\) のすべての要素が実数であり、かつ \(A^T = -A\) を満たす場合を言う。
ここで、\(A^T\) は行列の転置を表す。以下の問いに答えよ。
(1) \(2 \times 2\) および \(3 \times 3\) の実歪対称行列の一般形を示せ。
(2) 任意の奇数 \(n\) に対して、\(n \times n\) の実歪対称行列は正則でないことを示せ。
(3) 実歪対称行列のすべての固有値は \(0\) あるいは純虚数であることを示せ。
Kai
設問1
(1)
\[
|D| = 96
\]
(2)
\[
X^2 = \begin{bmatrix}
4 & 4a & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & b^2 \\
\end{bmatrix}
\;
X^3 = \begin{bmatrix}
8 & 12a & 0 \\
0 & 8 & 0 \\
0 & 0 & b^3 \\
\end{bmatrix}
\]
substitute above matrix into the equation, we have
\[
b = 1 \text{ or } b = 2
\]
and \(a\) could be an arbitrary real number.
設問2
(1)
\[
\begin{bmatrix}
0 & a \\
-a & 0 \\
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{bmatrix}
0 & a & b \\
-a & 0 & c \\
-b & -c & 0 \\
\end{bmatrix}
\]
(2)
Let \(A\) denote a skew-symmetric matrix.
\[
\begin{aligned}
\det |A| &= \det|A|^T \\
&= \det|A^T| \\
&= \det|-A|\\
&= (-1)^n\det|A|
\end{aligned}
\]
when \(n\) is odd, we have \(\det|A|=-\det|A|\), i.e., \(\det|A|=0\), hence \(A\) is non-invertible.
(3)
\[
\begin{aligned}
A\textbf{x}
&=\lambda \textbf{x}\\
\left(A\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}&=\left(\lambda^*\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\
\left(\textbf{x}^*\right)^TA^T\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\
\left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-A\right)\textbf{x}&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\
\left(\textbf{x}^*\right)^T\left(-\lambda\textbf{x}\right)&=\lambda^*\left(\textbf{x}^*\right)^T\textbf{x}\\
-\lambda\|\textbf{x}\|^2&=\lambda^*\|\textbf{x}\|^2\\
-\lambda&=\lambda^*\\
\therefore \Re(\lambda)&=0
\end{aligned}
\]
where the notation \(*\) is for complex conjugation.
Therefore, the eigenvalues of real skew-symmetric matrices are purely imaginary numbers.