京都大学 情報学研究科 知能情報学専攻 2019年8月実施 情報学基礎 F1-2
Author
祭音Myyura
Description
下記の問いに答えよ。
(1) 体積が一定な直円錐の側面積が最小となるのは、その高さと底面の半径の比がいくらのときか。
(2) 下記の積分を求めよ。
- (2.1) \(\int_0^1 \log (1+\sqrt{x})dx\)
- (2.2) \(\iint_D (x^2+y^2)^{-2} dxdy, \quad D = \{(x,y): x^2+y^2 \geq 1\}\)
Kai
(1)
円錐の底面の半径を \(r\)、高さを \(h\) とおくと、円錐の母線 \(a\)、体積 \(V\)、側面積 \(S\) は以下のように表れる。
\[
\begin{aligned}
a &= \sqrt{r^2 + h^2}\\
V &= \frac{1}{3}\pi r^2 h\\
S &= \pi a^2 \frac{r}{a} = \pi r\sqrt{r^2 + h^2}
\end{aligned}
\]
そして、
\[
\begin{aligned}
S &= \pi r \sqrt{r^2 + h^2}\\
&= \pi \sqrt{r^2\left(r^2 + \frac{9V^2}{\pi^2r^4} \right)}\\
&= \pi \sqrt{r^4 + \frac{9V^2}{\pi^2r^2}}\\
&= \pi \sqrt{r^4 + \frac{9V^2}{2\pi^2r^2} + \frac{9V^2}{2\pi^2r^2}}\\
&\geq \pi \sqrt{3\left( \frac{81V^4}{4\pi^4} \right)^{\frac{1}{3}}}
\end{aligned}
\]
等号成立条件を考えると、
\[
\begin{aligned}
&r^4 = \frac{9V^2}{2\pi^2r^2} = \frac{9\left(\pi r^2 h/3 \right)^2}{2\pi^2r^2}\\
&\Rightarrow \frac{h}{r} = \sqrt{2}
\end{aligned}
\]
が得られる。
(2)
(2.1)
\[
\begin{aligned}
\int_0^1\log(1+\sqrt{x})dx
&= \int_1^2\log t \cdot 2(t-1)dt\\
&= \left[(t-1)^{2}\log t \right]_1^2 - \int_1^2\frac{(t-1)^{2}}{t}dt\\
&= \log 2-\int_1^2\left(t-2+\frac{1}{t}\right)dt\\
&= \log 2-\left[\frac{t^{2}}{2}-2t+\log t\right]_1^2 \\
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
(2.2)
\(\begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases}\) とおくと、変数変換後の積分領域 \(D'\) は以下のように定められる。
\[
D' = \{ (r,\theta):~1\leqq r,~0\leqq\theta<2\pi \}
\]
また，ヤコビアンは
\[
|J| =
\begin{vmatrix}
\cos \theta & -r\sin\theta \\
\sin \theta & r\cos \theta
\end{vmatrix} = r \cos^2\theta + r \sin^2\theta = r
\]
となる。従って、求める積分は
\[
\begin{aligned}
\iint_D (x^2 + y^2)^{-2}dxdy
&= \iint_{D'} (r^2)^{-2}rdrd\theta\\
&= \int_0^{2\pi}d\theta \int_1^{\infty}r^{-3}dr\\
&= \pi
\end{aligned}
\]