京都大学 情報学研究科 通信情報システム専攻 2021年8月実施 専門基礎A [A-2]
Author
Miyake
Description
(1) 関数 \(f(t)\) のフーリエ余弦変換は次式で定義される。
\[
F(\omega) = \int_0^{\infty} f(t) \cos \omega t \text{ d}t
\]
また、その逆変換は次式で与えられる。
\[
f(t) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} F(\omega) \cos \omega t \text{ d}\omega
\]
- (a) 次の関数 \(f(t)\) のフーリエ余弦変換を求めよ。
\[
f(t) = e^{-mt}\ \ \ \ \ (m > 0)
\]
- (b) 問(a)の結果を用いて次の等式が成り立つことを示せ。
\[
\int_0^{\infty} \frac{\cos pv}{v^2 + \beta^2} \text{d}v = \frac{\pi}{2\beta} e^{-p\beta} \ \ \ \ \ \ (p>0, \beta>0)
\]
(2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。
\[
\frac{\text{d}^2 y}{\text{d} x^2} - 2x \frac{dy}{dx} + (x^2 - 5)y = xe^{\frac{x^2}{2}}
\]
(3) 留数定理を用いて次の積分 \(I\) を求めよ。
\[
I = \int_0^{2 \pi} \frac{1}{a + \sin \theta} \text{d}\theta \ \ \ \ \ (a > 1)
\]
Kai
(1)
(a)
与えられた関数 \(f(t) = e^{-mt} \ (m \gt 0)\) の余弦フーリエ変換を \(F(\omega)\) とすると、
\[
\begin{aligned}
F(\omega)
&= \int_0^\infty e^{-mt} \cos \omega t \ dt
\\
&= - \frac{1}{m} \left[ e^{-mt} \cos \omega t \right]_0^\infty - \frac{\omega}{m} \int_0^\infty e^{-mt} \sin \omega t \ dt
\\
&= \frac{1}{m} + \frac{\omega}{m^2} \left[ e^{-mt} \sin \omega t \right]_0^\infty
- \frac{\omega^2}{m^2} \int_0^\infty e^{-mt} \cos \omega t \ dt
\\
&= \frac{1}{m} - \frac{\omega^2}{m^2} F(\omega)
\\
\therefore \ \
F(\omega) &= \frac{m}{\omega^2 + m^2}
\end{aligned}
\]
を得る。
(b)
(a) の結果を与えられた逆変換の式に代入すると、
\[
\begin{aligned}
e^{-mt} = \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \frac{m}{\omega^2 + m^2} \cos \omega t \ d \omega
\end{aligned}
\]
であり、 \(t, \omega, m\) をそれぞれ \(p, v, \beta\) と書けば、示すべき等式が得られる。
(2)
\(y(x)=u(x) e^{x^2/2}\) として、与えられた微分方程式に代入して整理すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2u}{dx^2} - 4u = x
\end{aligned}
\]
となり、さらに、 \(v(x)=4u(x)+x\) として上の微分方程式に代入して整理すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2 v}{dx^2} = 4v
\end{aligned}
\]
となるので、一般解として、
\[
\begin{aligned}
v(x) &= C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
\\
\therefore \ \
u(x) &= c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x} - \frac{1}{4} x
\\
\therefore \ \
y(x) &= \left( c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x} - \frac{1}{4} x \right) e^{x^2/2}
\end{aligned}
\]
を得る。 ここで、 \(C_1, C_2, c_1, c_2\) は任意定数である。
(3)
虚数単位を \(i\) として、 \(z=e^{i \theta}\) とすると、
\[
\begin{aligned}
dz &= i e^{i \theta} d \theta = iz d \theta
\\
\sin \theta &= \frac{1}{2i} \left( z + \frac{1}{z} \right)
\end{aligned}
\]
である。
複素平面上で、原点を中心とする半径 \(1\) の円を反時計回りに回る経路を \(C\) とすると、
\[
\begin{aligned}
I
&= \int_0^{2 \pi} \frac{1}{a + \sin \theta} d \theta
\\
&= \oint_C \frac{1}{a + \frac{1}{2i} \left( z + \frac{1}{z} \right)} \frac{dz}{iz}
\\
&= \oint_C \frac{2}{z^2 + 2iaz - 1} dz
\end{aligned}
\]
となる。
被積分関数は \(z = \left( \pm \sqrt{a^2 - 1} - a \right) i\) に1位の極をもつが、 \(C\) の内部にあるのは、 \(z = \left( \sqrt{a^2 - 1} - a \right) i\) のみである。 このときの留数は、
\[
\begin{aligned}
&\lim_{z \to \left( \sqrt{a^2 - 1} - a \right) i}
\left( z - \left( \sqrt{a^2 - 1} - a \right) i \right) \cdot \frac{2}{z^2 + 2iaz - 1}
\\
= &\lim_{z \to \left( \sqrt{a^2 - 1} - a \right) i}
\frac{2}{z + \left( \sqrt{a^2 - 1} + a \right) i}
\\
= &\frac{1}{i \sqrt{a^2 - 1}}
\end{aligned}
\]
なので、留数定理により、
\[
\begin{aligned}
I
&= 2 \pi i \cdot \frac{1}{i \sqrt{a^2 - 1}}
\\
&= \frac{2 \pi}{\sqrt{a^2 - 1}}
\end{aligned}
\]
を得る。