京都大学 情報学研究科 通信情報システム専攻 2021年8月実施 専門基礎A [A-1]
Author
Miyake
Description
(1) 次の関数 \(f(x)\) について以下の問に答えよ。
\[
f(x) = \sqrt{1 - x^2} + \arcsin x \ \ \ (-1 \le x \le 1)
\]
- ( a ) 導関数 \(f'(x)\) を求めよ。
- ( b ) \(f'(1)\) の値を求めよ。
- ( c ) \(f(x)\) の概形を図示せよ。
(2) \(y=x\) と \(y=x^2\) の２つの曲線で囲まれる領域 \(D\) として、次の積分 \(I\) を求めよ。
\[
I = \iint_D x^2 + y^2\ dxdy
\]
(3) 次の行列 \(A\) の固有値および固有ベクトルを求めよ。ただし \(x\) 実数とする。
\[
A = \begin{pmatrix}
e^x & e^{-x} \\
e^{-x} & e^x
\end{pmatrix}
\]
Kai
(1)
( a )
\[
\begin{aligned}
f'(x)
&= - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\\
&= \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}
\\
&= \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
\end{aligned}
\]
( b )
\[
\begin{aligned}
f'(1) = 0
\end{aligned}
\]
( c )
(2)
\[
\begin{aligned}
I
&= \int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy \left( x^2 + y^2 \right)
\\
&= \int_0^1 dx \left[ x^2 y + \frac{y^3}{3} \right]_{y=x^2}^x
\\
&= \int_0^1 dx \left( - \frac{1}{3} x^6 - x^4 + \frac{4}{3} x^3 \right)
\\
&= \left[ - \frac{1}{21} x^7 - \frac{1}{5} x^5 + \frac{1}{3} x^4 \right]_0^1
\\
&= \frac{3}{35}
\end{aligned}
\]
(3)
固有値
\[
\begin{aligned}
\lambda_1 &= e^{-x} (e^{2x} - 1) \\
\lambda_2 &= e^{-x} (e^{2x} + 1)
\end{aligned}
\]
固有ベクトル
\[
\begin{aligned}
v_1 &= (-1, 1) \\
v_2 &= (1, 1)
\end{aligned}
\]