京都大学 情報学研究科 先端数理科学専攻 2021年8月実施 基礎科目1, 基礎科目2

Author

Miyake

Description

日本語版

1.

\(a\) を実数とする。\(3\) 行 \(3\) 列の実行列 \(X\) を

\[ X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & a \end{pmatrix} \]

によって与える。次の各問に答えよ。

(1) \(X\) 正則行列にならないような \(a\) の値を求めよ。

(2) \(a = 4\) のとき、\(X\) の逆行列を求めよ。

2.

自然数 \(k\) に対して、\(E_k\) と \(O_k\) はそれぞれ \(k\) 行 \(k\) 列の単位行列と零行列を表わすものとする。また、\(k\)行 \(k\) 列の実行列

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{pmatrix} \]

に対して、\(A\) のトレース \(\text{tr}(A)\) を

\[ \text{tr}(A) = \sum_{i = 1}^k a_{ii} \]

によって与える。次の各問に答えよ。

(1) \(k\) 行 \(k\) 列の実行列 \(A\) は

\[ A^2 + A - 2E_k = O_k \]

を満たしているとする。この時 \(A\) の固有値の取りうる値をすべて求めよ。

(2) \(k\)行 \(k\)列の実行列 \(B\)と \(C\)に対して、 \(\text{tr}(BC) = \text{tr}(CB)\)　が成立することを示せ。

(3) \(2\) 行 \(2\) 列の実行列 \(D\) は

\[ D^2 + D - 2E_2 = O_2 \]

を満たしているとする。このとき \(\text{tr}(D)\) の取りうる値をすべて求めよ。

Kai

1.

(1)

\[ \begin{aligned} \det X &= 3a-21 = 3(a-7) \end{aligned} \]

なので、 \(X\) が正則にならないのは \(a=7\) のときである。

(2)

\(a=4\) のとき、

\[ \begin{aligned} X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

である。

行基本変形あるいは余因子行列を使って計算すると、次がわかる：

\[ \begin{aligned} X^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]