京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2020年8月実施 力学系数学

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Casablanca

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日本語版

\(n > 1\) を整数，\(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) を \(C^1\) 級関数として，\(\mathbb{R}\) 上の微分方程式系

\[ \begin{align} \frac{dx}{dt} = f(x), \quad x \in \mathbb{R}^n \tag{1} \end{align} \]

を考える。\(x = \phi(t)\) を \(\mathbb{R}\) 上で有界な式 (1) の非定数解とする。 次式を式 (1) の解 \(x = \phi(t)\) のまわりの変分方程式という：

\[ \frac{dy}{dt} = Df(\phi(t))y, \quad y \in \mathbb{R}^n \tag{2} \]

ここで，\(Df(x)\) は \(f(x)\) のヤコビ行列で，各 \(j = 1, 2, \ldots, n\) に対して，\(f_j(x)\) と \(x_j\) をそれぞれ，\(f(x)\) と \(x\) の第 \(j\) 成分として，

\[ Df(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x) & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}(x) \end{pmatrix} \]

で与えられる \(n\) 次正方行列である。以下の問いに答えよ。

(i) 極限 \(a_+ = \lim_{t \to +\infty} \phi(t)\) と \(a_- = \lim_{t \to -\infty} \phi(t)\) が存在するとき，\(x = a_+\) と \(a_-\) が式 (1) の定数解であることを示せ。また，変分方程式 (2) が \(\lim_{t \to \pm \infty} \psi(t) = 0\) かつ \(\mathbb{R}\) 上で有界な解 \(y = \psi(t)\) をもつことを示せ。

(ii) 次式を満たす \(C^1\) 級関数 \(u : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) が存在するものとする。

\[ Du(x)f(x) - Df(x)u(x) = 0 \]

2 個のベクトル \(f(\phi(0))\) と \(u(\phi(0))\) が線形独立であるとき，変分方程式 (2) の線形独立な解を2個求めよ。

(iii) 次式を満たす \(n - 1\) 個の \(C^1\) 級関数 \(v_j : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n \ (j = 1, 2, \ldots, n - 1)\) が存在するものとする。

\[ Dv_j(x)f(x) - Df(x)v_j(x) = 0 \quad (j = 1, 2, \ldots, n - 1) \]

\(n\) 個のベクトル \(f(\phi(0))\) と \(v_j(\phi(0)) \ (j = 1, 2, \ldots, n - 1)\) が線形独立であるとき，変分方程式 (2) の一般解を求めよ。

English Version

Kai

(i)

Since \(\phi (t)\) is a solution, we have

\[ \frac{d \phi(t)}{dt} = f(\phi(t)) \]

From \(\lim_{t\rightarrow +\infty}\phi(t) = a_+\) and continuity, we have

\[ \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{d\phi(t)}{dt} = f(a_+) \]

suppose that

\[ f(a_+) > 0 \]

then we have

\[ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{d\phi(t)}{dt} > 0 \Rightarrow \lim_{t\rightarrow \infty} \phi(t) = +\infty \]

which is conflict with

\[ \lim_{t\rightarrow \infty} \phi(t) = a_+ \]

and therefore \(f(a_+) = 0\). Thus \(\phi(t) = a_+\) is a constant solution. Similarly, \(\phi(t) = a_{-}\) is a constant solution,too.

Notice that

\[ \frac{df(\phi(t))}{dt} = Df(\phi(t))\frac{d\phi(t)}{dt}, f(\phi(t)) = \frac{d\phi(t)}{dt} \]

hence

\[ \frac{d\frac{d\phi(t)}{dt}}{dt} = Df(\phi(t))\frac{d\phi(t)}{dt}, \psi(t) = \frac{d\phi(t)}{dt} = f(\phi(t)) \]

and we konw

\[ \lim_{t\rightarrow \infty} \psi(t) = f(a_+) = 0 \]

since \(f \in C^1\), \(\phi(t)\) is bounded, then \(\psi(t)\) is bounded

(ii)

\(f(\phi(t))\) is a solution, then

\[ \frac{v(\phi(t))}{dt} = Dv(\phi(t))\frac{d\phi(t)}{dt} = Dv(x)f(x) = Df(x)v(x) = Df(\phi(t))v(\phi(t)) \]

and we see that \(v(\phi(t))\) is a solution to (2) and we have

\[ v(\phi(t)) = v(\phi(0)) + \int Df(\phi(t))v(\phi(t)) dt \]

\[ f(\phi(t)) = f(\phi(0)) + \int Df(\phi(t))v(\phi(t)) dt \]

thus, \(v(\phi(0))\), \(f(\phi(0))\) are independent \(\Rightarrow\) \(v(\phi(t))\), \(f(\phi(t))\) are independent.

(iii)

Similar to \(\boldsymbol{(\text{ii})}\), omitted