京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2019年8月実施 力学系数学

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Casablanca

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日本語版

\(a, b \in \mathbb{R}\) を定数として次の実微分方程式を考える．

\[ \begin{align} t \frac{d^2 x}{d t^2} + (at + b)\frac{dx}{dt} + x = 0 \tag{1} \end{align} \]

\(X\) を \(t\) の有理関数，式 (1) の解およびそれらの高階導関数の有理式全体からなる集合とする． 特に，\(X\) は式 (1) の任意の解の 2 階導関数を含む．次の条件を満たす全単射写像 \(\sigma: X \rightarrow X\) 全体の集合を \(G\) で表す．

(A1) 任意の \(f, g \in X\) に対して \(\sigma(f + g) = \sigma(f) + \sigma(g)\) および \(\sigma(fg) = \sigma(f)\sigma(g)\) が成立

(A2) 任意の有理関数 \(f\) に対して \(\sigma(f) = f\) が成立

(A3) 任意の \(f \in X\) に対して \(\frac{d}{dt} \sigma(f) = \sigma \left( \frac{df}{dt} \right)\) が成立

\(x = e^t\) が式 (1) の解であるとき，以下の問いに答えよ．

(i) 定数 \(a, b\) を定めよ．

(ii) \(x = e^t\) と 1 次独立な解 \(x = \phi(t)\) を一つ求めよ．

(iii) \(x(t)\) が解のとき \(\sigma (x(t))\) も解であることを示せ．

(iv) \(\phi(t)\) を(ii)で求めた解とする．(iii)により，任意の \(\sigma \in G\) に対して，ある定数 \(a_{ij}(\sigma) \in \mathbb{R} \ (i, j = 1, 2)\) が存在して

\[ \sigma(e^t) = a_{11} (\sigma) e^t + a_{12} (\sigma) \phi(t), \quad \sigma(\phi(t)) = a_{21} (\sigma) e^t + a_{22} (\sigma) \phi(t) \]

が成立する．各 \(i, j = 1, 2\) に対して \((i, j)\) 成分が \(a_ij (\sigma)\) の 2 次正方行列を \(A(\sigma)\) と表す． このとき，任意の \(\sigma_1, \sigma_2 \in G\) に対して \(A(\sigma_1) A(\sigma_2) = A(\sigma_2) A(\sigma_1)\) が成立することを示せ．

English Version

Kai

(i)

substitute \(x\) by \(e^t\) in (1),

\[ te^t + (at + b)e^t + e^t = 0 \]

we have \(a = b = -1\)

(ii)

Let \(\phi(t) = u(t)e^t\) and substitute \(x\) by \(\phi(t)\) in (1), we have

\[ tu''(t) + (t-1)u'(t) = 0 \]

by solving this equation, we obtain:

\[ u(t) = C_1(-(t+1)e^{-t} + C_2) \]

where \(C_1\) and \(C_2\) are constants.

By setting \(C_1 = 1\), \(C_2 = 0\), we have

\[ \Phi(t) = u(t)e^t = -t-1 \]

(iii)

\[ \frac{d^2 \sigma(x(t))}{dt^2} = \frac{d\frac{ \sigma(x(t))}{dt}}{dt} = \sigma(\frac{d^2 x(t)}{dt^2}) \]

\[ t \frac{d^2 \sigma(x(t))}{dt^2} = \sigma(t)\sigma(\frac{d^2x(t)}{dt^2}) = \sigma(t \frac{d^2 x(t)}{dt^2}) \]

\[ -(t+1)\frac{d\sigma(x(t))}{dt} = \sigma(-(t+1)\frac{dx(t)}{dt}) \]

And we obtain

\[ t \frac{d^2 \sigma(x(t))}{dt^2} - (t+1)\frac{d\sigma(x(t))}{dt} + \sigma(x(t)) = \sigma(0) = 0 \]

(iv)

\(A(\sigma_i) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & c_i \end{bmatrix}\) is symmetric.