京都大学情報学研究科数理工学専攻 2018年8月実施力学系数学

Author

Casablanca

\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\) を定数として次の微分方程式を考える。

\[ \begin{align} t^2 \frac{dx}{dt} + (at + b)x = ct + d \tag{1} \end{align} \]

以下の問いに答えよ。ただし、\(b \neq 0\) とし、自然数 \(n\) に対して最高次の次数が \(n\) の \(t\) の多項式で表される解を \(n\) 次多項式解と呼ぶ。

(i) 式 (1) が１次多項式解を持つための必要十分条件を \(a, b, c, d\) を用いて表わせ。

(ii) 自然数 \(n > 1\) に対して、式 (1) が \(n\) 次多項式解をもつための必要十分条件を \(a, b, c, d, n\) を用いて表わせ。

(iii) どんな自然数 \(n\) に対しても式 (1) が \(n\) 次多項式解をもつための必要十分条件を \(a, b, c, d\) を用いて表わせ。

Suppose that \(x(t) = pt + q\) is a solution, \(p \neq 0\), we have

\[ (p+ap)t^2 + (a1+bp - c)t + bq - d = 0 \]

\[ p+ap = 0, aq+bp-c = 0, bq - d = 0 \Leftrightarrow a = -1, q = \frac db , p = \frac cb - \frac{ad}{b^2} \]

Let \(\Phi(t) \sum_{i=0}^{n}c_i t^i\) be a solution, where \(c_n \neq 0\). Then we have

\[ (nc_n + ac_n)t^{n+1} + \sum_{i=2}^{n-1}t^i(ic_i + ac_i + bc_{i+1}) + (ac_0 + bc_1 - c)t + bc_0 - d = 0 \]

and we get a sufficient and necessary condition:

\[ a = -n, c_0 = \frac db , c_1 = \frac{nd}{b^2} + \frac cb , c_k = \frac{b^{n-k}}{(n-k)!}c_n \]

from (i) and (ii) we see that \(a \in R/Z^-\) is sufficient and necessary.