京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2017年8月実施 力学系数学
Author
Casablanca
Description
日本語版
\(f(t), g(t), h(t)\) を \(\mathbb{R}\) 上の連続関数として、
\[
A(t) = \begin{pmatrix}
f(t) & 0 \\ g(t) & h(t)
\end{pmatrix}
\]
とおき、\(\mathbb{R}\) 上において2元連立線形微分方程式
\[
\begin{align}
\frac{d \boldsymbol{x}}{dt} = A(t) \boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^2 \tag{1}
\end{align}
\]
を考える。\(I\) を2次単位行列、
\[
F(t) = \int_0^t f(s)ds, \quad G(t) = \int_0^t g(s)ds, \quad H(t) = \int_0^t h(s)ds
\]
として、以下の問いに答えよ。ただし、\(t \neq 0\) のとき \(F(t) \neq H(t)\) が成立するものとする。
(i) \(\Phi(0) = I\) を満たす式 (1) の基本行列 \(\Phi(t)\) を求めよ。ここで、基本行列 \(\Phi(t)\) とは、正則かつ \(\frac{d}{dt} \Phi(t) = A(t) \Phi(t)\) を満たす2次正方行列のことをいう。
(ii) \(t \neq 0\) のとき、行列 \(\Psi(t) = \begin{pmatrix} F(t) & 0 \\ G(t) & H(t) \end{pmatrix}\) の対角化を行って、指数関数 \(\exp \Psi(t)\) を求めよ。
(iii) \(k \in \mathbb{R}\) をある定数として \(\mathbb{R}\) 上で \(G(t) = k(F(t) - H(t))\) が成立するとき、(ii) で求めた指数関数 \(\exp \Psi(t)\) が式 (1) の基本行列となることを示せ。
(iv) (i) と (ii) を用いて、指数関数 \(\exp \Psi(t)\) が式 (1) の基本行列とならない \(f(t)\), \(g(t)\), \(h(t)\) の例をあげよ。
English Version
Kai
(i)
\[
\begin{pmatrix}
x_1' & x_2' \\
x_3' & x_4'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f(t) & 0 \\
g(t) & h(t)
\end{pmatrix}
\boldsymbol{x}
\]
then we have
\[
\begin{aligned}
\frac{dx_1}{dt} &= x_1 f(t) \\
\frac{dx_2}{dt} &= x_2 f(t) \\
\frac{dx_3}{dt} &= x_1 g(t) + x_3 h(t) \\
\frac{dx_4}{dt} &= x_2 g(t) + x_4h(t)
\end{aligned}
\]
get the solutions:
\[
\begin{aligned}
x_1 &= e^{F(t)} \\
x_2 &= 0 \\
x_3 &= e^{H(t)}\int \frac{g(t)e^{H(t)}}{e^{F(t)}}dt \\
x_4 &= e^{H(t)}
\end{aligned}
\]
(ii)
Consider \(|\Psi(t) - I\lambda| = 0\), then we have \(\lambda\) = \(F(t), H(t)\).
For \(\lambda = F(t)\), \(\boldsymbol{\xi}^\top = [H(t) - F(t), -G(t)]\)
For \(\lambda = H(t)\), \(\boldsymbol{\xi}^\top = [0,1]\)
thus
\[
P(t) = \begin{pmatrix}
H(t)-F(t) & 0 \\
-G(t) & 1
\end{pmatrix},
P^{-1}(t) =
\begin{pmatrix}
\frac{1}{H(t)-F(t)} & 0 \\
\frac{G(t)}{H(t)-F(t)} & 1
\end{pmatrix}
\]
then
\[
e^{\Psi(t)} = P(t)e^{\Lambda(t)}P^{-1}(t) =
\begin{pmatrix}
e^{F(t)} & 0 \\
\frac{G(t)(e^{F(t)} - e^{H(t)})}{H(t)-F(t)} & e^{H(t)}
\end{pmatrix}
\]
(iii)
\[
e^{\Psi(t)} =
\begin{pmatrix}
e^{F(t)} & 0 \\
k(e^{H(t)} - e^{F(t)}) & e^{H(t)}
\end{pmatrix}
\]
\[
\frac{de^{\Psi (t)}}{dt} =
\begin{pmatrix}
f(t)e^{F(t)} & 0 \\
k(h(t)e^{H(t)} - f(t)e^{F(t)}) & h(t)e^{H(t)}
\end{pmatrix}
\]
and
\[
A(t)e^{\Psi (t)} = \frac{de^{\Psi (t)}}{dt}
\]
thus \(e^{\Psi (t)}\) is a fundamental matrix.
(iv)
\[
f(t) = t, h(t) = t-1, g(t) = t^2
\]