京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2016年8月実施 力学系数学
Author
Casablanca
Description
日本語版
\(n\) を自然数、\(ij\) 成分が
\[
a_{ij}(t) = \begin{cases}
&1 &(\text{for } i=j) \\
&t &(\text{for } i=j+1) \\
&0 &\text{otherwise}
\end{cases}
\]
の \(n\) 次正方行列を \(A(t)\) として、\(t > 0\) において \(n\) 元連立線形微分方程式
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t} A(t) x, \quad x \in \mathbb{R}^n
\]
を考える。以下の問いに答えよ。
(i) \(n = 1\) のとき一般解を求めよ。
(ii) \(n = 2\) のとき一般解を求めよ。
(iii) 任意の自然数 \(n\) に対して一般解を求めよ。
English Version
Kai
(i)
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{x}{t}
\]
\[
x = kt, \quad k \text{ is a constant}
\]
(ii)
\[
\frac {dx}{dt}
= \begin{bmatrix}
\frac 1t & 0 \\
1 & \frac 1t
\end{bmatrix} x
\]
then
\[
\frac{dx_1}{dt} = \frac 1t x_1 \Rightarrow x_i = kt
\]
\[
\frac{dx_2}{dt} = x_2 + \frac{x_2}{t} \Rightarrow kt^2 + mt
\]
thus
\[
\boldsymbol{x}(t) = [kt, kt^2 + mt]^\top
\]
(iii)
\[
\frac{dx}{dt} =
\begin{bmatrix}
\frac 1t & 0 &0 & \cdots &0 \\
1 & \frac 1t &0 &\cdots & 0 \\
0 & 1 & \frac 1t & \cdots &0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 &0 & \cdots &\frac 1t
\end{bmatrix}
\]
\[
x_1 = c_1 t, \text{and } \frac{dx_{k+1}}{dt} = x_k + \frac {x_{k+1}}{t}
\]
then we get
\[
x_{k+1} = u(t)t
\]
thus
\[
x_{k+1} = (\int \frac{x_k}{t} dt + C)t
\]
\[
x_{k} = \sum_{i=1}^{k} \frac{c_i}{(i-1)!} t^i
\]
Therefore
\[
\boldsymbol{x}(t) = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top
\]