京都大学 情報学研究科 数理工学専攻 2014年8月実施 力学系数学

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Casablanca

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日本語版

\(a(t)\) を半無限区間 \([1, \infty)\) で定義された連続関数として、微分方程式

\[ \begin{align} t \frac{d^2 x}{d t^2} + (t^2 - 1) a(t) \frac{dx}{dt} - t a(t) x = 0, \qquad t \geqq 1 \tag{1} \end{align} \]

を考える。\(x = \frac{t^3}{t^2 + 1}\) を式 (1) のひとつの解とする。以下の問いに答えよ。

(i) 関数 \(a(t)\) を求めよ。

(ii) 式 (1) で \(x = \frac{t^3}{t^2 + 1} y\) とおく。\(y\) が満たす微分方程式を求めよ。

(iii) (ii) で得られた微分方程式を解き、式 (1) の一般解を求めよ。

(iv) 式 (1) の解 \(x(t)\) が半無限区間 \([1, \infty)\) において有界となるための、\(t=1\) における初期値 \((x_0, v_0) = \left( x(1), \frac{dx}{dt} (1) \right)\) の必要十分条件を求めよ。

English Version

Kai

(i)

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{t^4 + 3t^2}{t^4 + 2t^2 + 1},\quad \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{2t(3-t^2)}{(t^2 + 1)^3} \]

and we get

\[ a(t) = \frac{2}{t^2 + 1} \]

(ii)

for solution \(x_1, x_2\)

\[ \begin{aligned} (x_1'x_2 - x_1 x_2')' &= x_1 ''x_2 - x_1 x_2'' \\ &= -(t-\frac 1t )a(t)(x_1'x_2 - x_1 x_2') \end{aligned} \]

\(x_2 = x_1 y\) , \(x_2 ' = x_1 ' y + x_1 y_1 '\), then

\[ (x_1' x_1 y - x_1 (x_1 ' y + x_1 y'))' = -\frac{2(1-t^2)}{t(t^2 + 1)} x_1^2 y' \]

and we obtain

\[ ty'' + 4y' = 0 \]

(iii)

Let \(y' = \mu\), then \(t\mu ' = -4\mu\), we get \(\mu = \frac {C}{t^4}\), \(y = \frac{C_1}{t^3} + C_2\).

Let \(C_1 = 1\) , \(C_2 = 0\), we have

\[ \frac{t^3}{t^2 + 1}y = \frac{1}{t^2 + 1} \]

since \(\frac{1}{t^2 + 1}\) , \(\frac{t^3}{t^2 + 1}\) is linear independent,

\[ \frac{C_1 + C_2 t^3}{t^2 + 1} \]

is a general solution

(iv)

\[ x(t) = \frac{C_1 + C_2 t^3}{t^2 + 1} \]

\[ x'(t) = \frac{C_2 t^4 + 3C_2 t^2 - 2C_1 t}{(t^2 + 1)^2} \]

\(C_2 = 0\) is a necessary and sufficient condition. And by solving:

\[ \begin{bmatrix} x(1)\\ \frac{dx}{dt}(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{C_1 + C_2}{2} \\ \frac{-2C_1 + 4C_2}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_0 \\ v_0 \end{bmatrix} \]

we get

\[ \begin{aligned} &C_1 = \frac 23 (2x_0 - v_0) \\ &C_2 = \frac 23 (x_0 + v_0) \end{aligned} \]

obviously \(x_0 = -v_0\) is necessary and sufficient.