神戸大学 理学研究科 物理学専攻 2022年8月実施 物理 II I
Author
Miyake
Description
3つの量子状態 \(|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle\) が規格直交関係 \(\langle1|1\rangle = \langle2|2\rangle = \langle3|3\rangle = 1\) および \(\langle1|2\rangle = \langle2|3\rangle = \langle1|3\rangle = 0\) を満たしている。
ある定数 \(\varepsilon\ (> 0)\) によりハミルトニアンが
\[
\hat{H} = -\varepsilon \left( |3\rangle\langle 2| + |2 \rangle \langle 1| + |1 \rangle \langle 2| + |2\rangle\langle 3| \right)
\]
で与えられる系について、以下の問 1～4 に答えなさい。
問1 状態 \(\frac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle - |3\rangle)\) のエネルギー期待値を求めなさい。
問2 定数 \(a\) と \(b\) により \(a|1\rangle + b|2\rangle + a|3\rangle\) と表される状態が \(\hat{H}\) の固有状態である場合に、\(\frac{b}{a}\) の値と固有エネルギーを求めなさい。
問3 状態 \(|1\rangle\) を \(\hat{H}\) の固有状態の重ね合わせで表しなさい。
問4 時刻 \(t\ (\geq 0)\) の状態を \(|\Psi(t)\rangle\) で表す。 \(|\Psi(0)\rangle = |1\rangle\) である場合に、 \(|\Psi(t)\rangle = -|3\rangle\) となる \(t\) の最小値を、定数 \(\varepsilon\) を使って表しなさい。
Kai
問1
\[
\begin{aligned}
\hat{H} \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 1 \rangle - | 3 \rangle \right)
&= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (- \varepsilon)
\left( | 2 \rangle - | 2 \rangle \right)
\\
&= 0
\end{aligned}
\]
なので、求める期待値は \(0\) である。
問2
\[
\begin{aligned}
\hat{H} \left( a | 1 \rangle + b | 2 \rangle + a | 3 \rangle \right)
&= - \varepsilon \left( a | 2 \rangle
+ b \left( | 3 \rangle + | 1 \rangle \right) + a | 2 \rangle \right)
\\
&= - \varepsilon \left( b | 1 \rangle + 2a | 2 \rangle + b | 3 \rangle \right)
\end{aligned}
\]
なので、エネルギー固有値を \(E\) とすると
\[
\begin{aligned}
E a = - \varepsilon b
, \ \
E b = - 2 \varepsilon a
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
\frac{b}{a} = \pm \sqrt{2}
, \ \
E = - \varepsilon \frac{b}{a} = \mp \sqrt{2} \varepsilon
\ \ \ \ \text{ (複合同順) }
\end{aligned}
\]
を得る。
問3
問 1, 2 より、
\[
\begin{aligned}
| \varphi_0 \rangle &= | 1 \rangle - | 3 \rangle
\\
| \varphi_+ \rangle &= | 1 \rangle + \sqrt{2} | 2 \rangle + | 3 \rangle
\\
| \varphi_- \rangle &= | 1 \rangle - \sqrt{2} | 2 \rangle + | 3 \rangle
\end{aligned}
\]
は \(\hat{H}\) の1次独立な固有状態であることがわかる。
\[
\begin{aligned}
2 | \varphi_0 \rangle + | \varphi_+ \rangle + | \varphi_- \rangle
= 4 | 1 \rangle
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
| 1 \rangle
= \frac{1}{4} \left(
2 | \varphi_0 \rangle + | \varphi_+ \rangle + | \varphi_- \rangle \right)
\end{aligned}
\]
と書ける。
問4
\(| \varphi_0 \rangle,
| \varphi_+ \rangle,
| \varphi_- \rangle\) は、それぞれ \(\hat{H}\) の固有値
\(0, - \sqrt{2} \varepsilon, \sqrt{2} \varepsilon\)
に属する固有状態であることを考慮して、
\[
\begin{aligned}
| \Psi (t) \rangle
&= \frac{1}{4} \left( 2 | \varphi_0 \rangle
+ e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}}
| \varphi_+ \rangle
+ e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}}
| \varphi_- \rangle \right)
\\
&= \frac{1}{4} \left(
\left( 2 + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}}
+ e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right)
| 1 \rangle
+ \sqrt{2} \left( e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}}
- e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right)
| 2 \rangle
+ \left( -2 + e^{ i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}}
+ e^{ -i \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar}} \right)
| 3 \rangle
\right)
\\
&= \frac{1}{2} \left(
\left( 1 + \cos \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} \right)
| 1 \rangle
+ \sqrt{2} i \sin \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} | 2 \rangle
+ \left( -1 + \cos \frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} \right)
| 3 \rangle
\right)
\end{aligned}
\]
がわかる。
よって、 \(| \Psi(t) \rangle = - | 3 \rangle\) となる最小の \(t \ ( \gt 0)\) は
\[
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{2} \varepsilon t}{\hbar} &= \pi
\\
\therefore \ \
t &= \frac{\pi \hbar}{\sqrt{2} \varepsilon}
\end{aligned}
\]
である。