神戸大学 理学研究科 数学専攻 2022年8月実施 数学 I 問題 1.
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\(\mathbb{R}\) 上の3次元線形空間 \(V\) を高々2次の実数係数多項式からなる集合, つまり
\[
V = \{ax^2 + bx + c \mid a,b,c \in \mathbb{R}\}
\]
で定める. また, \(V\) から \(V\) への線形写像 \(I\) を次が成り立つように定める.
\[
I(f) = x^{-1} \left( \int_0^x f(y+1)\ dy \right), \quad f \in V
\]
(1) \(I(x^2), I(x), I(1)\) を求めよ.
(2) 基底 \(x^2, x, 1\) に関する \(I\) の表現行列を求めよ.
(3) \(I(f) = tf\) となる \(t \in \mathbb{R}\) と \(0 \neq f \in V\) を全て求めよ.
(4) 正の整数 \(n\) に対し, \(I^n (x^2 + x + 1)\) を求めよ. ただし, \(I^n\) は \(I\) の \(n\) 回合成をあらわす.
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
I(1)
&= x^{-1} \int_0^x dy
\\
&= 1
\\
I(x)
&= x^{-1} \int_0^x (y+1) dy
\\
&= x^{-1} \left( \frac{x^2}{2} + x \right)
\\
&= \frac{1}{2} x + 1
\\
I(x^2)
&= x^{-1} \int_0^x (y+1)^2 dy
\\
&= x^{-1} \int_0^x (y^2+2y+1) dy
\\
&= \frac{1}{3} x^2 + x + 1
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} I(x^2) & I(x) & I(1) \end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} x^2 + x + 1 & \frac{1}{2} x + 1 & 1
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix} x^2 & x & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
なので、求める表現行列は
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(3)
\[
\begin{aligned}
t &= \frac{1}{3}
, \ \
f(x) = s(2x^2-12x+15)
\ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } )
\\
t &= \frac{1}{2}
, \ \
f(x) = s(-x+2)
\ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } )
\\
t &= 1
, \ \
f(x) = s
\ \ \ \ ( s \text{ は $0$ でない任意の実数 } )
\end{aligned}
\]
(4)
\[
\begin{aligned}
I^n(x^2+x+1)
&= 3^{-n} x^2 + \left( -6 \cdot 3^{-n} + 7 \cdot 2^{-n} \right) x
+ \left( \frac{15}{2} \cdot 3^{-n} - 14 \cdot 2^{-n} + \frac{15}{2} \right)
\end{aligned}
\]