北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 システム情報科学コース 2022年8月実施 専門科目1 問1 (応用数学I)
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Kai
1-1)
(a)
\[
\begin{align}
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}
\end{align}
\]
(b)
\(A\) の固有値を \(a\) とすると、
\[
\begin{align}
0
&= \det
\begin{pmatrix} 2-a & -1 & 2 \\ -1 & 5-a & -1 \\ 2 & -1 & 2-a \end{pmatrix}
\\
&= -a^3 + 9a^2 - 18a
\\
&= -a(a-3)(a-6)
\\
\therefore \ \
a &= 0, 3, 6
\end{align}
\]
である。 固有値 \(a=0,3,6\) に属する大きさ \(1\) の固有ベクトルは、それぞれ、
\[
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
, \ \
\frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
, \ \
\frac{1}{\sqrt{6}}
\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{align}
\]
である。
©
\(A\) の最大の固有値は \(6\) であるから、 \(\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} = 1\) のときの \(Q\) の最大値は \(6\) である。