北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 生体情報工学コース 2022年8月実施 専門科目1 問1 (線形代数・ベクトル解析)
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Kai
1.
(1)
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
(2)
(1) で求めた行列
\[
\begin{aligned}
A =
\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
の固有値を \(a\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0 &= \det \begin{pmatrix} 3-a & 1 \\ 1 & 3-a \end{pmatrix}
\\
&= a^2 - 6a + 8
\\
&= (a-2)(a-4)
\\
\therefore \ \
a &= 2, 4
\end{aligned}
\]
である。 固有値 \(a=2\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと \(u+v=0\) であり、 固有値 \(a=4\) に属する固有ベクトルを求めるため
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}
&= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと \(u=v\) である。 よって、行列
\[
\begin{aligned}
P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
, \ \
Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
によって \(xy\) 平面を \(xy\) 平面に変換することで、 \(C\) の標準形が得られる。
(i) \(C\) は
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}
P P^{-1} A P P^{-1}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
&= 1
\end{aligned}
\]
と書けるので、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}
&= P^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} x-y \\ x+y \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と変換することで、標準形
\[
\begin{aligned}
2X^2 + 4Y^2 = 1
\end{aligned}
\]
を得る。
(ii) \(C\) は
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}
Q Q^{-1} A Q Q^{-1}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
&= 1
\end{aligned}
\]
と書けるので、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}
&= Q^{-1} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} x+y \\ x-y \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と変換することで、標準形
\[
\begin{aligned}
4X^2 + 2Y^2 = 1
\end{aligned}
\]
を得る。
2.
実対称行列 \(B\) の固有値を \(b\) とし、それに属する固有ベクトルを \(\boldsymbol{v}\) とする：
\[
\begin{aligned}
B \boldsymbol{v} = b \boldsymbol{v}
.
\end{aligned}
\]
複素数の複素共役を \(*\) で表し、 行列・ベクトルのエルミート共役を \(\dagger\) で表すと、次が成り立つ：
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}^\dagger B^\dagger &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger
.
\end{aligned}
\]
\(B\) は実対称行列であり \(B^\dagger = B\) であるから、次のように書ける：
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}^\dagger B &= b^* \boldsymbol{v}^\dagger
.
\end{aligned}
\]
そこで、 \(\boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v}\) は、次の2通りに計算できる：
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v}
&= \boldsymbol{v}^\dagger \left( B \boldsymbol{v} \right)
\\
&= b \boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v}
, \\
\boldsymbol{v}^\dagger B \boldsymbol{v}
&= \left( \boldsymbol{v}^\dagger B \right) \boldsymbol{v}
\\
&= b^* \boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v}
.
\end{aligned}
\]
\(\boldsymbol{v}\) はゼロベクトルでないから \(\boldsymbol{v}^\dagger \boldsymbol{v} \ne 0\) であり、 \(b = b^*\) すなわち \(b\) は実数であることがわかる。
3.
(1)
\(r \ne 0\) のとき、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x} r
&= \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2+y^2+z^2}
\\
&= \frac{x}{r}
\\
\therefore \ \
\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3}
&= \frac{r^3 - x \cdot 3 r^2 \cdot \frac{x}{r}}{r^6}
\\
&= \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}
\end{aligned}
\]
であり、同様にして、
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3}
&= \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}
,\\
\frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3}
&= \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}
\end{aligned}
\]
である。 よって、
\[
\begin{aligned}
\mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
&=
\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3}
+ \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3}
+ \frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3}
\\
&= 0
\end{aligned}
\]
がわかる。
(2)
閉曲面 \(S\) で囲まれる部分を \(V\) で表す。
(場合 I)
ガウスの発散定理より、
\[
\begin{aligned}
\iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n} dS
&= \iiint_V \mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} dV
\\
&= 0
\ \ \ \ \ \ \ \ ( \because \text{ (1) } )
\end{aligned}
\]
がわかる。
(場合 II)
原点を中心とする半径 \(\varepsilon\) の球面を \(S_0\) とする。 ただし、 \(\varepsilon\) は十分小さく、 \(S_0\) は \(V\) の内部にあるとする。 また、 \(S_0\) に囲まれる部分を \(V_0\) とし、 \(V\) から \(V_0\) を除いた部分を \(V_1\) とする。 さらに、 \(S_0\) の外向きの単位法線ベクトルを \(\boldsymbol{n}_0\) とする。 このとき、
\[
\begin{aligned}
\iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n} dS
&= \iint_{S_0} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n}_0 dS_0
+ \left( \iint_{S_0} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot
\left( - \boldsymbol{n}_0 \right) dS_0
+ \iint_S \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \cdot \boldsymbol{n} dS \right)
\\
&= \frac{1}{\varepsilon^2} \cdot 4 \pi \varepsilon^2
+ \iiint_{V_0} \mathrm{div} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3} dV_0
\\
&= 4 \pi
\end{aligned}
\]
がわかる。