北海道大学 情報科学院 情報科学専攻 メディアネットワークコース 2022年8月実施 専門科目1 [1] 応用数学

Author

Miyake

Description

Kai

1-1

1-2

(1)

\[ \begin{aligned} f(x,y,z) &= y + 8 - 2 ( (z+1) + z ) \\ &= y-4z+6 \end{aligned} \]

(2)

\[ \begin{aligned} x = r \cos \theta , \ \ y = r \sin \theta \end{aligned} \]

であるから、

\[ \begin{aligned} f(r,\theta,z) &= r \sin \theta - 4z + 6 \end{aligned} \]

である。

(3)

\[ \begin{aligned} \int_{z=-1}^{z=0} \int_{r=0}^{r=-z} r \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} f(r, \theta, z) d \theta dr dz &= \int_{z=-1}^{z=0} \int_{r=0}^{r=-z} r \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} (r \sin \theta - 4z + 6) d \theta dr dz \\ &= 2 \pi \int_{z=-1}^{z=0} \int_{r=0}^{r=-z} r (- 4z + 6) dr dz \\ &= 2 \pi \int_{z=-1}^{z=0} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{r=0}^{r=-z} (- 4z + 6) d \theta dr dz \\ &= \pi \int_{z=-1}^{z=0} (- 4z^3 + 6z^2) dz \\ &= \pi \left[ -z^4 + 2z^3 \right]_{z=-1}^{z=0} \\ &= 3 \pi \end{aligned} \]

であるから、式④より、式③における \(m\) は \(m=1\) であることがわかる。