広島大学 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 2022年1月実施 専門科目I 問題1

Author

samparker, 祭音Myyura

Description

\(A,B,C,P,Q\) を \(n\) 次の正方行列とする。また, \(E\) と \(O\) それぞれ \(n\) 次の単位行列と零行列とする。

(1) \(A\) が \(A^2=A\) を満たすとき, \(A\) の固有値はすべて \(0\) または \(1\) であることを証明せよ。

(2) \(B \neq O\) とし, ある整数 \(k \ge 2\) に対して \(B^k = O\) が成り立つとする。このとき, \(B\) は正則行列でないことを証明せよ。

(3) \(n\) 次正方行列 \(M = [m_{ij}]\) のトレースを , \(\text{tr}M = \sum_{i=1}^n m_{ii}\) と定義する。 すべての \(n\) 次正方行列 \(X\) に対して \(\text{tr}(CX) = 0\) ならば \(C = O\) であることを証明せよ。

(4) \(PQ - QP = E\) となるような正方行列 \(P,Q\) は存在しないことを証明せよ。

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Let \(A, B, C, P\) and \(Q\) be \(n\)-dimensional square matrices. Let \(E\) and \(O\) be \(n\)-dimensional identity and zero matrices, respectively.

(1) When \(A\) satisfies \(A^2=A\), prove eigenvalues of \(A\) are either \(0\) or \(1\).

(2) Suppose \(B \neq O\) and \(B^k = O\) for some integer \(k \ge 2\). Prove \(B\) is not an invertible matrix.

(3) The trace of an \(n\)-dimensional square matrix \(M=[m_{ij}]\) is defined by \(\text{tr}M = \sum_{i=1}^n m_{ii}\). Prove \(C=O\) when \(\text{tr}(CX) = 0\) for any \(n\)-dimensional square matrix \(X\).

(4) Prove that there are no square matrices \(P,Q\) such that \(PQ-QP=E\).

Kai

(1)

\[ A = A^2 \]

\[ A = E \text{ or } O \]

\[ \begin{aligned} &\begin{vmatrix} 1-\lambda & & & \\ & 1-\lambda & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0&, \begin{vmatrix} -\lambda & & \\ & -\lambda & \\ & & -\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \\ &\text{all } \lambda = 1 &\text{all } \lambda = 0 \end{aligned} \]

(2)

Assume that \(B\) is an invertible matrix, w.l.o.g we assume that \(k = 2\), then we have

\[ \left\{ \begin{aligned} &BB^{-1} = E \\ &B^2 = O \end{aligned} \right. \]

\[ \begin{aligned} B \cdot B \cdot B ^{-1} &= O \cdot B^{-1} \\ B \cdot E &= O \\ B &= O \end{aligned} \]

which is contradictory to the fact that \(B \neq O\). Therefore, \(B\) is not an invertible matirx.

(3)

Assume that \(C \neq O\), i.e., there exists an non-zero element \(c_{ij}\) of \(C\).

Consider a standard basis matrix \(E_{ij}\) (The matrix \(E_{ij}\) has \(1\) at \((i,j)\) and \(0\) at all other positions).

Then we have

\[ \text{tr} (CE_{ji}) = c_{ij} \neq 0 \]

which is a contradiction.

(4)

Since \(\text{tr} (PQ) = \text{tr} (QP)\), we have

\[ \text{tr} (PQ - QP) = \text{tr} (PQ) - \text{tr} (QP) = 0 \neq \text{tr} (E) \]

Therefore, there are no square matrices \(P, Q\) such that \(PQ - QP = E\).