広島大学 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 2021年8月実施 専門科目I 問題1

Author

samparker, 祭音Myyura

Description

(1) \(A = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}\) のすべての固有値と固有ベクトルを求めよ。ただし、\(\alpha \neq 0\) は実数とする。

(2) \(A^k\) を求めよ。ただし、\(k\) は正の整数とする。

(3) 実正方行列 \(X\) に対して、行列の指数関数を

\[ \exp(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^k = E + X + \frac{1}{2!} X^2 + \cdots \]

で定義する。これは、すべての行列 \(X\) に対して収束することが知られている。ただし、\(E\) は単位行列である。

\[ \exp(A) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \]

となることを示せ。

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(1) Find all the eigenvalues of a matrix \(A = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}\) and the corresponding eigenvectors. Here \(\alpha \neq 0\) is a real number.

(2) Find \(A^k\). Here \(k\) is a positive integer.

(3) For real square matrix \(X\), exponential function is defined as

\[ \exp(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} X^k = E + X + \frac{1}{2!} X^2 + \cdots \]

It is known that this function converges for all matrices \(X\). Here \(E\) is the identity matrix. Show that

\[ \exp(A) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \]

Kai

(1)

Eigenvalues

\[ \begin{bmatrix} -\lambda & -\alpha \\ \alpha & \lambda \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda^2 + \alpha^2 = 0 \Rightarrow \begin{cases} \lambda_1 = i\alpha \\ \lambda_2 = -i \alpha \end{cases} \]

the corresponding eigenvectors

\[ \begin{cases} v_1 = (i, 1) \\ v_2 = (-i, 1) \end{cases} \]

(2)

\[ u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}, u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix}, \]

\[ U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i & -i \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, U^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -i & 1 \\ i & 1 \end{pmatrix}, \]

Then,

\[ \begin{aligned} A^k &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} i & -i \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (i\alpha)^k & 0 \\ 0 & (-i\alpha)^k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i & 1 \\ i & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} (-i\alpha)^k + (i\alpha)^k & i(i\alpha)^k - i(-i\alpha)^k \\ i(-i\alpha)^k -i(i\alpha)^k & (-i\alpha)^k + (i\alpha)^k \end{pmatrix} \end{aligned} \]

(3)

The Cayley-Hamilton Theorem guarantees that

\[ A^2 + \alpha^2 E = 0 \]

so that \(A^2 = -\alpha^2 E\). Higher powers of \(A\) are \(A^3 = -\alpha^2 A\), \(A^4 = -\alpha^2 A^2 = \alpha^4 E\), and so on. Substituting these into the power series for \(\exp(A)\) and grouping together the terms involving \(E\) and \(A\) produces

\[ \begin{aligned} \exp(A) &= E + A + \frac{1}{2!} A^2 + \frac{1}{3!}A^3 + \cdots \\ &= E + A - \frac{\alpha^2}{2!}E - \frac{\alpha^2}{3!}A + \frac{\alpha^4}{4!}E + \frac{\alpha^4}{5!}A + \cdots \\ &= \left(1 - \frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} - \cdots \right)E + \left(1 - \frac{\alpha^2}{3!} + \frac{\alpha^4}{5!} - \cdots \right)A \\ &= (\cos \alpha) E + \frac{\sin \alpha}{\alpha} A \\ &= \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \end{aligned} \]