広島大学 先進理工系科学研究科 情報科学プログラム 2018年1月実施 専門科目I 問題1

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samparker

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\(n \times n\) 次実対称行列 \(M\) に対して、その全ての固有値が正であれば、\(M\) は正定値行列と呼ばれる。

(1) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) とするとき、\(A\) は正定値行列であるか？

(2) \(B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) とするとき、\(B\) が正定値行列であるための必要十分条件は \(a > 0\) かつ \(ac > b^2\) であることを示せ。

An \(n \times n\) real symmetric matrix \(M\) is called positive definite if all its eigenvalues are positive.

(1) Let \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\). Is the matrix \(A\) positive definite?

(2) Let \(B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\). Show that \(B\) is positive definite if and only if \(a > 0\) and \(ac > b^2\).

Kai

(1)

\[ \begin{aligned} &\det (A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ &\Leftrightarrow -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 5\lambda + 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2 - \sqrt{3}, \lambda_3 = 2+\sqrt{3} \end{aligned} \]

All eigenvalues are positive, hence \(A\) is positive definite.

(2)

\[ \begin{aligned} &\det (B - \lambda I) = \begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ b & c - \lambda \end{vmatrix} = 0 \\ &\Leftrightarrow (a - \lambda)(c - \lambda) - b^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow \lambda_1 = \frac{a + c + \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2}}{2}, \lambda_2 = \frac{a + c - \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2}}{2} \end{aligned} \]

To ensure that \(\lambda_1 > 0\), we have

\[ a + c + \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2} > 0 \Leftrightarrow a + c + |a-c| > 0 \]

which is \(a > 0\) or \(a < 0, c > 0\).

To ensure that \(\lambda_2 > 0\), we have

\[ a + c > \sqrt{(a - c)^2 + 4b^2} \geq 0 \]

Hence we have

\[ (a+c)^2 > (a-c)^2 + 4b^2 \]

\[ ac > b^2 \]

Since \(b^2 \geq 0\), we know that the case \(a < 0, c > 0\) is invalid. Therefore we have

\[ a > 0 \text{ and } ac > b^2 \]