広島大学 先進理工系科学研究科 電気システム制御プログラム 2022年8月実施 専門科目I A-3

Author

Miyake

Description

1.

事象 \(A, B, C\) は独立で \(P(A) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{5}, P(A \cup C) = \frac{3}{7}\) を満たすとする。ただし、\(P(D)\) は事象 \(D\) の確率を表す。このとき、確率 \(P(B), P(C)\) および条件付き確率 \(P(A \cup B | C)\) を求めよ。

Suppose that independent events \(A, B\) and \(C\) satisfy \(P(A) = \frac{1}{3}, P(A \cap B) = \frac{1}{5}\) and \(P(A \cup C) = \frac{3}{7}\), where \(P(D)\) stands for the probability of an event \(D\). Find the probabilities \(P(B)\), \(P(C)\) and the conditional probability \(P(A \cup B | C)\).

2.

確率変数 \(X\) の確率密度関数が \(f(x) = \exp\{-(ax^2 + bx + c)\}\) で与えられている。ただし、\(a, b, c\) は実数で \(a > 0\) とする。

(1). \(X\) の期待値 \(E(X)\) と分散 \(V(X)\) をそれぞれ \(a, b\) を用いて表せ。

(2). \(E(X) = 1, V(X) = 3\) のとき \(c\) の値を求めよ。

Suppose that a random variable \(X\) has the probability density function \(f(x) = \exp\{-(ax^2 + bx + c)\}\), where \(a, b\) and \(c\) are real numbers with \(a > 0\).

(1). Express the expectation \(E(X)\) and the variance \(V(X)\) of \(X\) by using \(a\) and \(b\).

(2). Determine the value of \(c\) if \(E(X) = 1\) and \(V(X) = 3\).

Kai

1.

事象 \(A,B,C\) が独立であることから、

\[ \begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A)P(B), \\ P(B \cap C) &= P(B)P(C), \\ P(C \cap A) &= P(C)P(A), \\ P(A \cap B \cap C) &= P(A)P(B)P(C) \end{aligned} \]

が成り立つ。

(i)

\[ \begin{aligned} P(B) &= \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\ &= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{5} \end{aligned} \]

(ii)

\[ \begin{aligned} P(A \cup C) &= P(A) + P(C) - P(A \cap C) \\ &= P(A) + P(C) - P(A)P(C) \\ &= P(A) + (1-P(A)) P(C) \\ \therefore \ \ P(C) &= \frac{P(A \cup C) - P(A)}{1 - P(A)} \\ &= \frac{\frac{3}{7} - \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} \\ &= \frac{1}{7} \end{aligned} \]

(iii)

\[ \begin{aligned} P((A \cup B) \cap C) &= P((A \cap C) \cup (B \cap C)) \\ &= P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C) \\ &= P(A)P(C) + P(B)P(C) - P(A)P(B)P(C) \\ &= \frac{11}{105} \\ \therefore \ \ P(A \cup B \mid C) &= \frac{P((A \cup B) \cap C)}{P(C)} \\ &= \frac{\frac{11}{105}}{\frac{1}{7}} \\ &= \frac{11}{15} \end{aligned} \]

2.