東京工業大学 理学院 数学系 2019年度 午前 [2]
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Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
IB_0
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\int_0^a r IB_0 dr
= \frac{1}{2} a^2 IB_0
\end{aligned}
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} a^2 \omega B_0
\end{aligned}
\]
(4)
求める電流を \(I\) とすると、オームの法則より、
\[
\begin{aligned}
RI = V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
I = \frac{V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0}{R}
\end{aligned}
\]
を得る。
(5)
角速度が一定ということは、棒にはたらく力のモーメントが \(0\) 、 すなわち、電流が \(0\) ということである。 よって、求める角速度の大きさを \(\omega_1\) とすると、 (4) より、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2} a^2 \omega_1 B_0 = V
\end{aligned}
\]
であるから、
\[
\begin{aligned}
\omega_1 = \frac{2V}{a^2 B_0}
\end{aligned}
\]
を得る。
(6)
（ア）
点 \(O\) を通り \(xy\) 平面に垂直な軸に関する棒の慣性モーメントは \(\frac{1}{3} \lambda a^3\) であるから、 棒の回転の運動方程式は次のようになる：
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{3} \lambda a^3 \frac{d \omega (t)}{dt}
=
\frac{1}{2} a^2 B_0 \frac{d Q (t)}{dt}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\therefore
\ \ \ \
\frac{d \omega (t)}{dt}
-
\frac{3B_0}{2 \lambda a} \frac{d Q (t)}{dt}
= 0
\end{aligned}
\]
よって、
\[
\begin{aligned}
\omega (t) - \frac{3B_0}{2 \lambda a} Q (t)
\end{aligned}
\]
が保存量である。
（イ）
充分長い時間が経過した後では、 コンデンサの電圧と棒に生じる誘導起電力がつり合うので、
\[
\begin{aligned}
\frac{Q_\infty}{C}
= \frac{1}{2} a^2 \omega_\infty B_0
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\therefore
\ \ \ \
Q_\infty
= \frac{1}{2} a^2 \omega_\infty B_0 C
\end{aligned}
\]
が成り立つ。
（ウ）
（ア）より、
\[
\begin{aligned}
\omega_\infty - \frac{3B_0}{2 \lambda} Q_\infty
= - \frac{3B_0}{2 \lambda} Q_0
\end{aligned}
\]
が成り立つ。 これと、（イ）で得た式から、 \(Q_\infty\) を消去して、
\[
\begin{aligned}
\omega_\infty
= \frac{6 B_0 Q_0}{3a^2 B_0^2 C - 4 \lambda}
\end{aligned}
\]
を得る。