東京工業大学 理学院 数学系 2022年度 午前 [1]

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

まず、

\[ \begin{align} \begin{pmatrix} f_\sigma(\boldsymbol{v}_1) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_2) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_3) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_4) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_5) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_5 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ A_\sigma &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align} \]

である。

\(A_\sigma\) の固有多項式を \(f(x)\) とすると、

\[ \begin{align} f(x) &= \det \begin{pmatrix} x & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & x & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & x \\ \end{pmatrix} \\ &= x^5 - x^3 - x^2 + 1 \\ &= (x+1)(x-1)^2(x^2+x+1) \end{align} \]

である。また、

\[ \begin{align} g(x) &= (x+1)(x-1)(x^2+x+1) \end{align} \]

とおくと

\[ \begin{align} g(A_\sigma) &= \text{零行列} \end{align} \]

が成り立つので、 \(g(x)\) が \(A_\sigma\) の最小多項式である。