東京工業大学 理学院 地球惑星科学系 2022年度 午前 [3]
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Kai
3-1
3-2
3-3
3-3-1
\[
\begin{align}
E(X_i)
&= 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p)
\\
&= p
\\
E(X_iX_j)
&= E(X_i)E(X_j)
\\
&= p^2
\end{align}
\]
3-3-2
\[
\begin{align}
n
&= \sum_{i=1}^N X_i
\\
E(n)
&= \sum_{i=1}^N E(X_i)
\\
&= Np
\\
E \left( n^2 \right)
&= \sum_{i=1}^N E \left( X_i^2 \right)
+ \sum_{i,j \ (i \neq j)} E \left( X_i X_j \right)
\\
&= Np + N(N-1)p^2
\\
V(n)
&= E \left( n^2 \right) - E(n)^2
\\
&= Np + N(N-1)p^2 - N^2p^2
\\
&= Np(1-p)
\end{align}
\]
3-3-3
3-3-3-1
\[
\begin{align}
f(n)
&= {}_NC_n p^n(1-p)^{N-n}
\\
&= \frac{N!}{n!(N-n)!} p^n(1-p)^{N-n}
\end{align}
\]
3-3-3-2
\(g(n) = \log f(n)\) とおくと、
\[
\begin{align}
g(n)
&= \log f(n)
\\
&= \log N! - \log n! - \log (N-n)! + n \log p + (N-n) \log (1-p)
\\
&\sim N \log N - n \log n - (N-n) \log (N-n) + n \log p + (N-n) \log (1-p)
\ \ \ \ \ \ \ \ (N \gg 1, \ n \gg 1, \ N-n \gg 1)
\end{align}
\]
である。 \(n\) が実数であるとして導関数を求めると、
\[
\begin{align}
g'(n)
&= - \log n - 1 + \log (N-n) + 1 + \log p - \log (1-p)
\\
&= \log \frac{(N-n)p}{n(1-p)}
\end{align}
\]
となるので、以下の増減表を得る：
\[
\begin{array}
{|c|ccccccc|}
\hline
n & 0 & \cdots & Np & \cdots & N \\
\hline
g' & & + & 0 & - & \\
\hline
g & & \nearrow & & \searrow & \\
\hline
f & & \nearrow & & \searrow & \\
\hline
\end{array}
\]
よって、 \(n_*=Np\) である。
3-3-3-3
3-3-3-2. の \(g(n)\) の2階導関数は
\[
\begin{align}
g''(n)
&= - \frac{N}{n(N-n)}
\end{align}
\]
であり、
\[
\begin{align}
g(n_*) &= 0
\\
g'(n_*) &= 0
\\
g''(n_*) &= - \frac{1}{Np(1-p)}
\end{align}
\]
であるから、 \(g(n)\) の \(n=n_* (=Np)\) のまわりでの2次までのテイラー展開は
\[
\begin{align}
g(n) &= - \frac{1}{2Np(1-p)} (n-Np)^2 + \cdots
\end{align}
\]
である。 よって、 \(n-Np\) が \(\sqrt{Np(1-p)}\) 程度の範囲内において
\[
\begin{align}
f(n) &= C e^{- \frac{(n-Np)^2}{2Np(1-p)}}
\ \ \ \ \ \ \ \ (C \text{ は適当な定数 } )
\end{align}
\]
と書け、これは期待値 \(Np\) 標準偏差 \(\sqrt{Np(1-p)}\) の正規分布である。