東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2022年度 午後 問題B [問題1]
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Kai
1.
(1)
\(f(t)=e^{\lambda t}\) を与えられた微分方程式に代入すると、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - 4 \lambda + 4
= (\lambda-2)^2
= 0
\end{aligned}
\]
となるので、一般解は、積分定数を \(C_1, C_2\) として、
\[
\begin{aligned}
f(t) = (C_1 + C_2 t) e^{2t}
\end{aligned}
\]
である。 初期条件を満たすためには、 \(C_1=3, C_2=-2\) とすればよく、
\[
\begin{aligned}
f(t) = (3 - 2t) e^{2t}
\end{aligned}
\]
が求める解である。
(2)
与えられた微分方程式を斉次にした \(f''(t)-4f'(t)+3f(t)=0\) の一般解は、積分定数を \(C_1, C_2\) として、
\[
\begin{aligned}
f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t}
\end{aligned}
\]
である。 また、 \(f(t)=Ate^t\) を与えられた微分方程式に代入すると \(A = -1/2\) を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、
\[
\begin{aligned}
f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t
\end{aligned}
\]
である。 初期条件を満たすためには、 \(C_1=-7/4, C_2=7/4\) とすればよく、
\[
\begin{aligned}
f(t) = -\frac{7}{4} e^t + \frac{7}{4} e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t
\end{aligned}
\]
が求める解である。
(3)
与えられた微分方程式を斉次にした \(f''(t)+3f'(t)+2f(t)=0\) の一般解は、積分定数を \(C_1, C_2\) として、
\[
\begin{aligned}
f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}
\end{aligned}
\]
である。 また、 \(f(t)=At^2+Bt+C\) を与えられた微分方程式に代入すると \(A=4,B=-12,C=14\) を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、
\[
\begin{aligned}
f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14
\end{aligned}
\]
である。 初期条件を満たすためには、 \(C_1=-16, C_2=2\) とすればよく、
\[
\begin{aligned}
f(t) = -16 e^{-t} + 2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14
\end{aligned}
\]
が求める解である。