東京工業大学 工学院 システム制御系 2022年度 問題1
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Kai
問1
\(x \to 0\) のとき、オーダー記法を使って、
\[
\begin{aligned}
e^x &= 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + O(x^5)
\\
e^{-x} &= 1 - x + \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + O(x^5)
\\
\sin x &= x - \frac{1}{6} x^3 + O(x^5)
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
e^x + e^{-x} - x^2 - 2 &= \frac{1}{12} x^4 + O(x^5)
\\
\sin^2 x - x^2 &= -\frac{1}{3} x^4 + O(x^5)
\end{aligned}
\]
であり、
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0}
\frac{e^x + e^{-x} - x^2 - 2}{\sin^2 x - x^2} = -\frac{1}{4}
\end{aligned}
\]
を得る。
問2
(1)
被積分関数の1位の極 \(z= \pi i\) における留数は、
\[
\begin{aligned}
\lim_{z \to \pi i} (z - \pi i) \cdot \frac{\cosh \frac{z}{4}}{z - \pi i}
= \cosh \frac{\pi i}{4}
= \cos \frac{\pi}{4}
= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\]
なので、留数定理より、
\[
\begin{aligned}
\oint \frac{\cosh \frac{z}{4}}{z - \pi i} dz
&= 2 \pi i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}
\\
&= \sqrt{2} \pi i
\end{aligned}
\]
がわかる。
(2)
被積分関数の3位の極 \(z=-i\) における留数は、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{2!} \lim_{z \to -i} \frac{d^2}{dz^2} (z+i)^3 \cdot \frac{e^{2z}}{(z+i)^3}
= 2 e^{-2i}
\end{aligned}
\]
なので、留数定理より、
\[
\begin{aligned}
\oint \frac{e^{2z}}{(z+i)^3} dz
&= 2 \pi i \cdot 2 e^{-2i}
\\
&= 4 \pi i e^{-2i}
\end{aligned}
\]
がわかる。