東京工業大学 工学院 機械系 2022年度 選択専門科目 問題5（工業数学）
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Kai
問1
(1)
ドーナツ（トーラス体・円環体）の体積・表面積を2通りの方法で計算 の定理1で、 \(r,R\) を \(a, b/\sqrt{2}\) にすればよいので、求める体積は、
\[
\begin{aligned}
2 \pi^2 a^2 \left( \frac{b}{\sqrt{2}} \right)^2
= \pi^2 a^2 b^2
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\(u=x+y\) とおくと、
\[
\begin{aligned}
\frac{du}{dx}
&= 1 + \frac{dy}{dx}
\\
&= 1 + u^2
\end{aligned}
\]
となり、
\[
\begin{aligned}
\frac{du}{1+u^2} &= dx
\\
\arctan u &= x + C
\\
u &= \tan (x+C)
\end{aligned}
\]
したがって、
\[
\begin{aligned}
y &= x + \tan (x+C)
\end{aligned}
\]
を得る。 ここで \(C\) は積分定数である。
問2
(1)
\(A\) の固有値を \(\lambda\) とすると、
\[
\begin{aligned}
0
&= \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix}
= (\lambda - 1)(\lambda - 3)
\\
\therefore \ \
\lambda &= 1, 3
\end{aligned}
\]
である。 固有値 \(1\) に属する固有ベクトルを求めるために、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x+y=0\) なので、正規化された固有ベクトルは、例えば、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。 固有値 \(3\) に属する固有ベクトルを求めるために、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とおくと、 \(x=y\) なので、正規化された固有ベクトルは、例えば、
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
(1)で求めた固有ベクトルを使って、
\[
\begin{aligned}
P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
とすると、
\[
\begin{aligned}
P^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\\
P^{-1} AP &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
A^n
&= P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1}
\\
&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+3^n & -1+3^n \\ -1+3^n & 1+3^n \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を得る。
問3
(1)
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{1+z}
&= \frac{1}{1-(-z)}
\\
&= \sum_{n=0}^\infty (-z)^n
\\
&= 1 -z + z^2 - z^3 + z^4 - \cdots
\end{aligned}
\]
(2)
\(e^z\) のマクローリン展開が \(e^z = 1 + z + (1/2)z^2 + \cdots\) であることを考慮すると、 与えられた関数は \(z=0\) で2位の極をもつことがわかり、その留数は次のように計算できる：
\[
\begin{aligned}
\lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} z^2 \cdot \frac{1}{z \left( e^z - 1 \right) }
&= \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \frac{z}{e^z - 1}
\\
&= \lim_{z \to 0} \frac{\left( e^z - 1 \right) - z e^z}{\left( e^z - 1 \right)^2}
\\
&= \lim_{z \to 0}
\frac{\left( z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \right) - z \left( 1 + z + \cdots \right)}
{\left( z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \right)^2}
\\
&= \lim_{z \to 0} \frac{- \frac{1}{2} z^2 + \cdots}{z^2 + \cdots}
\\
&= - \frac{1}{2}
\end{aligned}
\]
問4
(1)
まず、
\[
\begin{aligned}
c_n
&= \int_{-1}^1 p(x) e^{-in \pi x} dx
\\
&= \int_{-1/2}^{1/2} e^{-in \pi x} dx
\\
&= 2 \int_0^{1/2} \cos (n \pi x) dx
\end{aligned}
\]
である。 \(n=0\) のときは、
\[
\begin{aligned}
c_0
&= 2 \int_0^{1/2} dx
\\
&= 1
\end{aligned}
\]
であり、 \(n \ne 0\) のときは、
\[
\begin{aligned}
c_n
&= \frac{2}{n \pi} \left[ \sin (n \pi x) \right]_0^{1/2}
\\
&= \frac{2}{n \pi} \sin \frac{n \pi}{2}
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
c_1 &= \frac{2}{\pi}
\\
c_2 &= 0
\\
c_3 &= - \frac{2}{3 \pi}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\[
\begin{aligned}
q(x)
&= - \frac{2}{3 \pi} e^{-3i \pi x} + \frac{2}{\pi} e^{-i \pi x} + 1 + \frac{2}{\pi} e^{i \pi x} - \frac{2}{3 \pi} e^{-3i \pi x}
\\
&= 1 + \frac{4}{\pi} \cos (\pi x) - \frac{4}{3 \pi} \cos (3 \pi x)
\end{aligned}
\]
より、
\[
\begin{aligned}
\int_0^2 \left\{ q(x) \right\}^2 dx &= 2 + \frac{160}{9 \pi^2}
\end{aligned}
\]
である。