東京工業大学 工学院 機械系 2020年度 選択専門科目 問題5（工業数学）
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Kai
問1
(1)
https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27%27-2y%27%2B3y%3D0%2C+y%280%29%3D3%2C+y%27%280%29%3D1&lang=ja
(2)
与えられた微分方程式に \(y = e^{\lambda x}\) を代入すると、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - 2 \lambda + 3 = 0
\\
\therefore \ \
\lambda = 1 \pm \sqrt{2} i
\end{aligned}
\]
を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を \(A,B\) として、
\[
\begin{aligned}
y = e^x \left( A \sin \sqrt{2} x + B \cos \sqrt{2} x \right)
\end{aligned}
\]
である。 \(x=0\) のとき、 \(y=3\) から \(B=3\) がわかり、 \(dy/dx=1\) から \(A = - \sqrt{2}\) がわかる。 つまり、求める解は、
\[
\begin{aligned}
y = e^x \left( - \sqrt{2} \sin \sqrt{2} x + 3 \cos \sqrt{2} x \right)
\end{aligned}
\]
である。
問2
(1)
(i)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A}
&= y^2 + 4yz + 6yz
\\
&= y^2 + 10yz
\end{aligned}
\]
(ii)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} f &= \left( y^2 z, 2xyz, xy^2 \right)
\\
\therefore \ \
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\nabla} f
&= xy^4z + 4xy^3z^2 + 3xy^3z^2
\\
&= xy^4z + 7xy^3z^2
\end{aligned}
\]
(iii)
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla} f \right)
&= 0 + 2xz + 0
\\
&= 2xz
\end{aligned}
\]
(2)
曲線 C に関して、
\[
\begin{aligned}
\frac{dx(t)}{dt} = - \sin t
, \ \
\frac{dy(t)}{dt} = \cos t
, \ \
\frac{dz(t)}{dt} = 1
\end{aligned}
\]
なので、
\[
\begin{aligned}
\int_C \left( xdx + 2ydy + z^2 dz \right)
&= \int_0^{\pi/2} \left( \cos t \cdot (- \sin t) + 2 \sin t \cos t + t^2 \right) dt
\\
&= \int_0^{\pi/2} \left( \sin t \cos t + t^2 \right) dt
\\
&= \int_0^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} \sin 2t + t^2 \right) dt
\\
&= \left[ -\frac{1}{4} \cos 2t + \frac{t^3}{3} \right]_0^{\pi/2}
\\
&= \frac{1}{2} + \frac{\pi^3}{24}
\end{aligned}
\]
問3
(1)
求める複素数の絶対値を \(r\) ，偏角を \(\theta\) とすると、 \(r=1\) であり、 \(\theta\) は整数 \(n\) を使って、
\[
\begin{aligned}
4 \theta &= \pi + 2n \pi
\end{aligned}
\]
と書ける。 よって、求める複素数は、
\[
\begin{aligned}
\frac{1+i}{\sqrt{2}}
, \ \
\frac{-1+i}{\sqrt{2}}
, \ \
\frac{-1-i}{\sqrt{2}}
, \ \
\frac{1-i}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\]
である。
(2)
\[
\begin{aligned}
\frac{\pi}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\]