東京工業大学 工学院 機械系 2019年度 選択専門科目 問題5（工業数学）
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Kai
問1
問2
(1)
\[
\begin{aligned}
\mathrm{rot} \boldsymbol{V} = (y, -2x, 0)
\end{aligned}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\mathrm{div} \ \mathrm{rot} \boldsymbol{V} &= 0
\\
\mathrm{grad} \phi &= (2axz, 2byz, ax^2+by^2)
\\
\mathrm{div} \ \mathrm{grad} \phi &= 2(a+b)z
\\
\therefore \ \
\mathrm{div} \boldsymbol{A} &= 2(a+b)z
\end{aligned}
\]
なので、求める条件は \(a+b=0\) である。
問3
原点のまわりで
\[
\begin{aligned}
e^z - 1 &= z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots
\\
\sin^2 z &= z^2 - \frac{2}{3} z^4 + \cdots
\end{aligned}
\]
とテーラー展開されるので、与えられた関数の原点は位数1の極であり、留数は \(1\) である。
問4
(1)
与えられた微分方程式に \(y=e^{\lambda x}\) を代入すると、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - 2 \lambda + 2 \lambda &= 0
\\
\therefore \ \
\lambda = 1 \pm i
\end{aligned}
\]
を得る。 よって、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right)
\end{aligned}
\]
が一般解であることがわかる。
(2)
与えられた微分方程式に \(y=ax^2+bx+c\) を代入すると、
\[
\begin{aligned}
a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 0
\end{aligned}
\]
を得る。 つまり、
\[
\begin{aligned}
y = \frac{1}{2} x^2 + x
\end{aligned}
\]
は与えられた微分方程式の特殊解である。 さらに (1) の結果を考慮すると、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) + \frac{1}{2} x^2 + x
\end{aligned}
\]
が与えられた微分方程式の一般解であることがわかる。