東京工業大学 工学院 経営工学系 2020年度 午前 数理B
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Kai
[1]
[2]
(1)
(a)
\((Z-E(Z))^2\) は非負の値をとる確率変数であるから、 与えられた不等式において、 \(X=(Z-E(Z))^2, b=c\) とおくと、
\[
\begin{aligned}
P \left( (Z-E(Z))^2 \geq c \right)
&\leq \frac{E \left( (Z-E(Z))^2 \right)}{c}
\\
&= \frac{V(Z)}{c}
\end{aligned}
\]
を得る。
(b)
(a) で示した不等式を使って、次のように示せる：
\[
\begin{aligned}
P \left( | X-E(X) | \geq a \right)
&=
P \left( ( X-E(X) )^2 \geq a^2 \right)
\\
&\leq \frac{V(X)}{a^2}
\end{aligned}
\]
(2)
(3)
(a)
\[
\begin{aligned}
E(X) &= \frac{n}{2}
\\
V(X) &= \frac{n}{4}
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
P \left( X \geq \frac{3n}{4} \right)
&=
P \left( X - \frac{n}{2} \geq \frac{n}{4} \right)
\\
&=
\frac{1}{2} P \left( \left| X - \frac{n}{2} \right|
\geq \frac{n}{4} \right)
\\
&\leq
\frac{1}{2} \frac{\frac{n}{4}}{\left( \frac{n}{4} \right)^2}
\ \ \ \ \ \ \ \
( \because (1)(b) )
\\
&=
\frac{2}{n}
\end{aligned}
\]