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東京工業大学 工学院 情報通信系 2020年度 午前 H2.

Author

Miyake

Description

Kai

1)

a)

\[ \begin{aligned} \langle X-2Y, 2X+Y \rangle &= {}^t(X-2Y) S (2X+Y) \\ &= ({}^tX - 2 \ {}^t Y) S (2X+Y) \\ &= 2 \ {}^tX SX + {}^tX SY -4 \ {}^tY SX -2 \ {}^tY SY \\ &= 8 \end{aligned} \]

b)

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

c)

\[ \begin{aligned} {}^t XSX &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= ax^2 + 2bxy + dy^2 \\ &= a \left( x + \frac{b}{a} y \right)^2 + \left(-\frac{b^2}{a} + d \right) y^2 \end{aligned} \]

条件 [c-3] は、

\[ \begin{aligned} -\frac{b^2}{a} + d \gt 0 \end{aligned} \]

である。

2)

与えられた部分空間のベクトルは、任意の実数 \(x,y\) を使って、

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 2x+y \end{pmatrix} \end{aligned} \]

と書けるから、この部分空間の次元は \(2\) であり、

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

が基底となる。 \(\boldsymbol{u}_2\) を正規化した

\[ \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{u}}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

を考えると、これと直交する(与えられた部分空間に属する)ベクトル \(\boldsymbol{v}_1\) を次のように作れる:

\[ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 - \left( {}^t \boldsymbol{u}_1 \hat{\boldsymbol{u}}_2 \right) \hat{\boldsymbol{u}}_2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

これを正規化して次を得る:

\[ \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{v}}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

以上より、上で定義した \(\hat{\boldsymbol{u}}_2, \hat{\boldsymbol{v}}_1\) は、 与えられた部分空間の正規直交基底になっている。

3)

a)

\[ \begin{aligned} {}^t F(A) &= {}^t \left( \frac{A + {}^t A}{2} \right) \\ &= \frac{{}^t A + {}^t \left( {}^t A \right)}{2} \\ &= \frac{{}^t A + A}{2} \\ &= F(A) \end{aligned} \]

b)

\[ \begin{aligned} G(A) &= A - F(A) \\ &= A - \frac{A + {}^t A}{2} \\ &= \frac{A - {}^t A}{2} \\ \therefore \ \ {}^tG(A) &= \frac{{}^t A - A}{2} \\ &= - G(A) \\ \therefore \ \ F \left( G(A) \right) &= \frac{G(A) + {}^t G(A)}{2} \\ &= O \end{aligned} \]