東京工業大学 工学院 情報通信系 2020年度 午前 H2.
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Kai
1)
a)
\[
\begin{aligned}
\langle X-2Y, 2X+Y \rangle
&= {}^t(X-2Y) S (2X+Y)
\\
&= ({}^tX - 2 \ {}^t Y) S (2X+Y)
\\
&= 2 \ {}^tX SX + {}^tX SY -4 \ {}^tY SX -2 \ {}^tY SY
\\
&= 8
\end{aligned}
\]
b)
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
c)
\[
\begin{aligned}
{}^t XSX
&= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\\
&= ax^2 + 2bxy + dy^2
\\
&= a \left( x + \frac{b}{a} y \right)^2 + \left(-\frac{b^2}{a} + d \right) y^2
\end{aligned}
\]
条件 [c-3] は、
\[
\begin{aligned}
-\frac{b^2}{a} + d \gt 0
\end{aligned}
\]
である。
2)
与えられた部分空間のベクトルは、任意の実数 \(x,y\) を使って、
\[
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ 2x+y \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
と書けるから、この部分空間の次元は \(2\) であり、
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}
, \ \
\boldsymbol{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
が基底となる。 \(\boldsymbol{u}_2\) を正規化した
\[
\begin{aligned}
\hat{\boldsymbol{u}}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
を考えると、これと直交する（与えられた部分空間に属する）ベクトル \(\boldsymbol{v}_1\) を次のように作れる：
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{v}_1
&= \boldsymbol{u}_1
- \left( {}^t \boldsymbol{u}_1 \hat{\boldsymbol{u}}_2 \right) \hat{\boldsymbol{u}}_2
\\
&= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
これを正規化して次を得る：
\[
\begin{aligned}
\hat{\boldsymbol{v}}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
以上より、上で定義した \(\hat{\boldsymbol{u}}_2, \hat{\boldsymbol{v}}_1\) は、 与えられた部分空間の正規直交基底になっている。
3)
a)
\[
\begin{aligned}
{}^t F(A)
&= {}^t \left( \frac{A + {}^t A}{2} \right)
\\
&= \frac{{}^t A + {}^t \left( {}^t A \right)}{2}
\\
&= \frac{{}^t A + A}{2}
\\
&= F(A)
\end{aligned}
\]
b)
\[
\begin{aligned}
G(A)
&= A - F(A)
\\
&= A - \frac{A + {}^t A}{2}
\\
&= \frac{A - {}^t A}{2}
\\
\therefore \ \
{}^tG(A)
&= \frac{{}^t A - A}{2}
\\
&= - G(A)
\\
\therefore \ \
F \left( G(A) \right)
&= \frac{G(A) + {}^t G(A)}{2}
\\
&= O
\end{aligned}
\]