東京工業大学 工学院 電気電子系 2023年8月実施 数学1
Author
祭音Myyura
Description
式 \((1.1)\) で与えられる微分方程式について考える。ただし，\(y\) は \(x\) の関数である。また，\(m\) は実数であり，\(0 < m < 1\) である。
\[
\begin{align}
x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - m^2)y = 0 \tag{1.1}
\end{align}
\]
級数解法を適用して，式 \((1.1)\) の解が式 \((1,2)\) のように整数 \(n\), および実数 \(a_n\), \(k\) を用いて表せるとする。ただし, \(a_0 \neq 0,a_1 = 0\) とする。
\[
\begin{align}
y = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} \tag{1.2}
\end{align}
\]
以下の問に答えよ。
(1) \(\frac{dy}{dx}\) および \(\frac{d^2y}{dx^2}\) を \(x,n,k,a_n\) を用いて表せ。
(2) \(k\) を \(m\) を用いて表せ。ただし，\(a_n(n = 0,1,\dots,\infty)\) を用いてはいけない。
(3) \(a_2\) を \(a_0\) と \(m\) を用いて表せ。
(4) \(n \ge 2\) に対して，\(a_n\) を \(a_{n - 2},n,m\) を用いて表せ。
Kai
(1)
\(y = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k}\) より、
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)a_nx^{n + k - 1} \\
\frac{d^2y}{dx^2} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)(n + k - 1)a_nx^{n + k - 2}
\end{aligned}
\]
(2)
\((1.1)\) 式の両辺を \(x^2\) で割ると,
\[
\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} + \big(1 - \frac{m^2}{x^2}\big)y = 0
\]
確定特異点は \(x = 0\) より、
\[
a_0 = x \cdot \frac{1}{x}\bigg|_{x = 0} = 1
\]
\[
\begin{aligned}
b_0 &= x^2\big(1 - \frac{m^2}{x^2}\big)\bigg|_{x = 0} \\
&= x^2 - m^2\bigg|_{x = 0} \\
&= -m^2
\end{aligned}
\]
決定方程式は、\(\lambda^2 + (a_0 - 1)\lambda + b_0 = 0\) より、
\[
\lambda^2 - m^2 = 0 \Leftrightarrow \lambda^2 = m^2
\]
\[
\therefore \lambda = \pm m
\]
\[
\begin{aligned}
\therefore y &= x^{\pm m} \sum_{n = 0}^{\infty}a_n x^n \\
&= \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n \pm m}
\end{aligned}
\]
これを \((1.2)\) 式と比較すると、\(k = \pm m\)
(3)
\((1.1)\)式に \(y = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k}\) と \((1)\) の結果を代入すると、
\[
\begin{aligned}
x^2 + \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)(n + k - 1)a_nx^{n + k -2} + x\sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)a_nx^{n + k -1} + (x^2 - m^2)\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} = 0 \\
\sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)(n + k - 1)a_nx^{n + k} + \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)a_nx^{n + k} - m^2\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} + \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} + \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k - 2} = 0 \\
\sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)^2a_nx^{n + k} - m^2\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} + \sum_{n = 2}^{\infty}a_{n - 2}x^{n + k} = 0 \\
\sum_{n = 0}^{\infty}[a_n\{(n + k)^2 - m^2\} + a_{n - 2}]x^{n + k} = 0 \\
\end{aligned}
\]
よって、
\[
a_n\{(n + k)^2 - m^2\} + a_{n - 2} = 0
\]
\[
a_n = -\frac{a_{n - 2}}{(n + k)^2 - m^2}
\]
ここで、(2) より、\(k = \pm m\) なので、
\[
\begin{align}
a_n &= -\frac{a_{n - 2}}{(n \pm m)^2 - m^2} \notag\\
&= -\frac{a_{n - 2}}{n^2 \pm 2nm} \notag\\
&= -\frac{a_{n - 2}}{n(n \pm 2m)} \tag{i}
\end{align}
\]
したがって、\(n = 2\) のとき、
\[
\begin{aligned}
a_2 &= -\frac{a_0}{2(2 \pm 2m)} \\
&= -\frac{a_0}{4(1 \pm m)}
\end{aligned}
\]
(4)
(i) 式より、
\[
a_n = -\frac{a_{n - 2}}{n(n \pm 2m)} \quad (n \ge 2)
\]