東京工業大学 工学院 電気電子系 2022年度 数学 2
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Kai
1)
a)
与えられた微分方程式 (2.1) の右辺を \(0\) にした
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} + y = 0
\end{aligned}
\]
の一般解は、任意定数を \(A\) として \(y = Ae^{-x}\) である。 そこで、(2.1) に \(y=A(x)e^{-x}\) を代入すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{dA(x)}{dx} &= 1
\\
\therefore \ \
A(x) &= x + C
\end{aligned}
\]
を得る。 よって、 (2.1) の一般解は、 \(C\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y &= (x + C)e^{-x}
\end{aligned}
\]
b)
\(y=e^{\lambda x}\) を (2.2) に代入すると、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - 2 \lambda - 8 &= 0
\\
(\lambda - 4)(\lambda + 2) &= 0
\\
\therefore \ \
\lambda &= -2, 4
\end{aligned}
\]
なので、 (2.2) の一般解は、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = A e^{-2x} + B e^{4x}
\end{aligned}
\]
2)
a)
(2.3) で \(\alpha=1\) とした方程式に、\(y=Ce^{-x}\) を代入すると、 \(C = -1/5\) となる。 よって、一般解は、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{5} e^{-x}
\end{aligned}
\]
b)
(2.3) で \(\alpha=2\) とした方程式に、\(y=Cxe^{-2x}\) を代入すると、 \(C = -1/6\) となる。 よって、一般解は、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{6} xe^{-2x}
\end{aligned}
\]