東京工業大学 工学院 電気電子系 2022年8月実施 数学2
Author
祭音Myyura
Description
式 \((2.1)\) で与えられる関数 \(f(x)\) について，以下の問に答えよ。ただし，\(-1 < x < 1\) とする。
\[
\begin{align}
f(x) = \frac{1}{x + 1} \tag{2.1}
\end{align}
\]
(1) 式 \((2.2)\) は，関数 \(f(x)\) を \(x = 0\) においてテイラー展開して求めた \(2\) 次のテイラー多項式である。式 \((2.2)\) の \(a_0,a_1,a_2\) を求めよ。
\[
\begin{align}
\sum_{n = 0}^2(a_nx^n) = a_0 + a_1x + a_2x^2 \tag{2.2}
\end{align}
\]
(2) 関数 \(f(x)\) を \(x = 0\) においてテイラー展開し，式 \((2.3)\) の形式で表したときの \(a_n\) を求めよ。
\[
\begin{align}
\sum_{n = 0}^{\infty} (a_nx^n) \tag{2.3}
\end{align}
\]
(3) (2) で求めた \(a_n\) を用いて関数 \(h(x,N)\) を式 \((2,4)\) で定義する。式 \((2.4)\) の右辺を計算し，式 \((2.5)\) の \(\boxed{1},\boxed{2}\) に入る数式を答えよ。
\[
\begin{align}
h(x,N) = \sum_{n = 0}^N(a_nx^n) \tag{2.4}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
h(x,N) = \frac{1 - \boxed{1}}{\boxed{2}} \tag{2.5}
\end{align}
\]
(4) 式 \((2.5)\) を用いて，式 \((2.6)\) が成立することを示せ。
Kai
(1)
\[
\begin{aligned}
a_0 &= \frac{f(0)}{0!} = \frac{1}{0 + 1} = 1 \\
a_1 &= \frac{f'(0)}{1!} = -\frac{1}{(x + 1)^2}\bigg|_{x = 0} = -1 \\
a_2 &= \frac{f''(0)}{2!} = \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^4} \cdot \frac{1}{2!}\bigg|_{x = 0} = 1
\end{aligned}
\]
(2)
\[
a_n = (-1)^n
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
\sum_{n = 0}^{N}(-1)^nx^n &= \sum_{n = 0}^N(-x)^n = \frac{1 - (-x)^{N+1}}{1 + x}
\end{aligned}
\]
従って、
\[
\boxed{1} = (-x)^{N+1},\boxed{2} = 1 + x
\]
(4)
\[
\begin{aligned}
\lim_{N \rightarrow \infty} h(x,N) &= \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1 - (-x)^{N+1}}{1 + x} \\
&= \frac{1}{1 + x} \qquad(\because |x| < 1)
\end{aligned}
\]