東京工業大学 工学院 電気電子系 2022年8月実施 数学1
Author
祭音Myyura
Description
式 \((1.1)\) で与えられる微分方程式について，以下の問に答えよ。ただし \(y\) は \(x\) の関数であり，\(A\) と \(B\) は実数の定数である。
\[
\begin{align}
\frac{d^2y}{dx^2} + A\frac{dy}{dx} + By = 0 \tag{1.1}
\end{align}
\]
(1)
式(1.1)について特性方程式を用いて \(y\) の一般解を求めると，定数 \(C_1,C_2,\alpha,\beta\) を用いて，式 \((1.2)\) の形で表すことができるとする。このとき，\(\alpha\) と \(\beta\) のそれぞれを \(A\) と \(B\) を用いて表せ。
\[
\begin{align}
y = C_1e^{(\alpha + \beta)x} + C_2e^{(\alpha - \beta)x} \tag{1.2}
\end{align}
\]
(2)
式 \((1.1)\) の特性方程式が \(2\) つの異なる実数解を持ち，かつ \(x \rightarrow \infty\) において \(y\) が収束する \(A\) の条件と \(B\) の条件をそれぞれ示せ。
(3)
式 \((1.1)\) の特性方程式が \(2\) つの異なる虚数解を持つとき, \(y\)の一般解は式(1.2)を変形して，式 \((1.3)\) と表すことができる。式 \((1.3)\) の空欄 \(\boxed{1} \sim \boxed{4}\) にあてはまる数式を，\(A,B,C_1,C_2,x\) および虚数単位 \(j\) のうち必要なものを用いて示せ。
\[
\begin{align}
y = e^{\boxed{1}}\big\{ \ \boxed{2} \cos \big(\ \boxed{3} \ \big) + \ \boxed{4}\sin \big(\ \boxed{3} \ \big)\big\} \tag{1.3}
\end{align}
\]
(4)
式 \((1.1)\) の特性方程式が重解を持つときを考える。\(x = 0\) において，\(y = 1,\frac{dy}{dx} = 1\) であった。このときの \(y\) の特殊解を求めよ。答は \(B\) を用いずに示せ。
(5)
\(A = 2\) の場合，(4) で求めた \(y\) が極大となる \(x\) と，そのときの \(y\) の極大値を示せ。
Kai
(1)
\[
\lambda + A\lambda + B = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{-A \pm \sqrt{A^2 -4B}}{2}
\]
よって、
\[
\begin{cases}
\alpha + \beta = \frac{-A + \sqrt{A^2 - 4B}}{2} \\
\alpha - \beta = \frac{-A - \sqrt{A^2 - 4B}}{2}
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
\alpha = -\frac{1}{2}A \\
\beta = \frac{\sqrt{A^2 - 4B}}{2}
\end{cases}
\]
(2)
\[
A^2 - 4B > 0 \Leftrightarrow A^2 > 4B
\]
\[
A > \sqrt{A^2 - 4B} \Rightarrow A^2 > A^2 - 4B \Rightarrow B > 0
\]
\[
\therefore A^2 > 4B,B > 0
\]
(3)
\[
\begin{aligned}
y &= C_1e^{(-\frac{A}{2} + j\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2})x} + C_2e^{(-\frac{A}{2} - j\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2})x} \\
&= C_1e^{-\frac{A}{2}x}\big(\cos\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2}x + j\sin\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2}x\big) + C_2e^{-\frac{A}{2}x}\big(\cos\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2}x - j\sin\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2}x\big) \\
&= e^{-\frac{A}{2}x}\bigg\{(C_1 + C_2)\cos\big(\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2}\big) + j(C_1 - C_2)\sin\big(\frac{\sqrt{4B - A^2}}{2}x\big)\bigg\} \\
\end{aligned}
\]
ゆえに、
\[
\boxed{1} = -\frac{A}{2}x,\quad \boxed{2} = C_1 + C_2,\quad \boxed{3} = \frac{\sqrt{4B - A^2}}{2}x,\quad \boxed{4} = j(C_1 - C_2)
\]
(4)
\[
\lambda = -\frac{A}{2} ,y = (C_1 + C_2x)e^{-\frac{A}{2}x}, \frac{dy}{dx} = C_2e^{-\frac{A}{2}x} + (C_1 + C_2x)(-\frac{A}{2})e^{-\frac{A}{2}x}
\]
\(x = 0\) において，\(y = 1,\frac{dy}{dx} = 1\) であったことより、
\[
\begin{aligned}
C_1 = 1 \\
C_2 - \frac{A}{2}C_1 = 1
\end{aligned}
\]
を得られて、\(C_1 = 1, C_2 = 1 + \frac{A}{2}\) であることがわかる。ゆえに、
\[
y = [1 + (1 + \frac{A}{2})x]e^{-\frac{A}{2}x}
\]
(5)
\[
y = (1 + 2x)e^{-x}
\]
\[
y' = 2e^{-x} - (1 + 2x)e^{-x} = (1 - 2x)e^{-x}
\]
\[
y' = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]
\[
y_{\max} = (1 + 2 \cdot \frac{1}{2}) e^{-\frac{1}{2}} = 2 e^{-\frac{1}{2}}
\]