東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 数学2
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微分方程式に関する以下の問に，導出過程も含めて答えよ。
(1) 式 \((2.1)，(2.2)\)で与えられる微分方程式をそれぞれ解き，\(y\) の一般解を求めよ。ただし，\(y\) は \(x\) の関数とする。
\[
\begin{align}
&a) \quad \frac{dy}{dx} + y = e^{-x} \tag{2.1} \\
&b) \quad \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 8y = 0 \tag{2.2} \\
\end{align}
\]
(2) 式 \((2.3)\) で与えられる微分方程式がある。ただし，\(y\) は \(x\) の関数とする。
\[
\begin{align}
\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 8y = e^{-\alpha} \tag{2.3}
\end{align}
\]
- a) \(\alpha = 1\) の場合，\(y\) の一般解を求めよ。
- b) \(\alpha = 2\) の場合，\(y\) の一般解を求めよ。
Kai
1)
a)
与えられた微分方程式 (2.1) の右辺を \(0\) にした
\[
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} + y = 0
\end{aligned}
\]
の一般解は、任意定数を \(A\) として \(y = Ae^{-x}\) である。 そこで、(2.1) に \(y=A(x)e^{-x}\) を代入すると、
\[
\begin{aligned}
\frac{dA(x)}{dx} &= 1
\\
\therefore \ \
A(x) &= x + C
\end{aligned}
\]
を得る。 よって、 (2.1) の一般解は、 \(C\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y &= (x + C)e^{-x}
\end{aligned}
\]
b)
\(y=e^{\lambda x}\) を (2.2) に代入すると、
\[
\begin{aligned}
\lambda^2 - 2 \lambda - 8 &= 0
\\
(\lambda - 4)(\lambda + 2) &= 0
\\
\therefore \ \
\lambda &= -2, 4
\end{aligned}
\]
なので、 (2.2) の一般解は、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = A e^{-2x} + B e^{4x}
\end{aligned}
\]
2)
a)
(2.3) で \(\alpha=1\) とした方程式に、\(y=Ce^{-x}\) を代入すると、 \(C = -1/5\) となる。 よって、一般解は、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{5} e^{-x}
\end{aligned}
\]
b)
(2.3) で \(\alpha=2\) とした方程式に、\(y=Cxe^{-2x}\) を代入すると、 \(C = -1/6\) となる。 よって、一般解は、 \(A, B\) を任意定数として、
\[
\begin{aligned}
y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{6} xe^{-2x}
\end{aligned}
\]