東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 数学1
Author
祭音Myyura
Description
\(\int_{-\infty}^{\infty}\) が有限で絶対積分可能な実関数 \(f(t)\) に対して，フーリエ変換 \(F(\omega)\) を
\[
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt
\]
とする。ただし，\(j\) を虚数単位とし，関数 \(f(t)\) ,そのフーリエ変換 \(F(\omega)\) は，\(2\) 階微分可能とする。以下の問に答えよ。なお，導出過程も示すこと。また，関数 \(f(t)\) の導関数 \(\frac{d^2f(t)}{dt^2}\),\(\frac{df(t)}{dt}\) をそれぞれ \(f''(t),f'(t)\) と表記してもよい。
(1) 次の関数 \(g(t)\) のフーリエ変換 \(G(\omega)\) を関数 \(f(t)\) のフーリエ変換 \(F(\omega)\) を用いて表せ。
\[
(a)\quad g(t) = \frac{d^2f(t)}{dt^2} \qquad (b) \quad g(t) = t^2f(t)
\]
(2) 関数 \(f(t)\) が次の微分方程式の解であるとき，関数 \(f(t)\) のフーリエ変換 \(F(\omega)\) が満足する微分方程式を示せ。ただし，\(a\) は実数の定数である。
\[
\frac{d^2f(t)}{dt^2} - t^2f(t) = af(t)
\]
(3) 関数 \(f(t)\) が次の微分方程式の解であるとする。ただし，\(n\) は \(0\) 以上の整数である。
\[
\frac{d^2f(t)}{dt^2} - t^2f(t) = -(2n + 1)f(t)
\]
(a) 関数 \(f(t)\) が \(f(t) = H_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\) と表せるとき，関数 \(H_n(t)\) が満足する微分方程式を示せ。
(b) 上記の \((a)\) で求めた微分方程式の特殊解 \(H_n(t) = (-1)^ne^{t^2}\frac{d^n}{dt^n}(e^{t^2})\) は，\(n\) 次のエルミート多項式とよばれる。\(H_n(t),H_{n + 1}(t),H_{n + 2}(t)\) が満足する漸化式を求めよ。
Kai
(1)
(a)
\[
\begin{aligned}
g(t) &= f^{n}(t) \\
G(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} f''(t)e^{j\omega t}dt \\
&= \bigg[f'(t)e^{-j\omega t}\bigg]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} f'(t)(-j\omega)e^{-j\omega t}dt \\
&= j\omega \int_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{-j\omega t}dt \\
&= j\omega \bigg[f(t)e^{-j\omega t}\bigg]_{-\infty}^{\infty} - j\omega \int_{-\infty}^{\infty}f(t)(-j\omega)e^{-j\omega t}dt \\
&= (j\omega)^2 \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \\
&= -\omega^2F(\omega)
\end{aligned}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
g(t) &= t^2f(t) \\
F(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \\
\frac{dF(\omega)}{d\omega} &= -j\int_{-\infty}^{\infty} tf(t) e^{-j\omega t}dt \\
\frac{d^2F(\omega)}{d\omega^2} &= -\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)e^{-j\omega t}dt \\
\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)e^{-j\omega t}dt &= -\frac{d^2F(\omega)}{d\omega} = G(\omega)
\end{aligned}
\]
\[
\therefore G(\omega) = \frac{d^2F(\omega)}{d\omega^2}
\]
(2)
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2f(t)}{dt^2} - t^2f(t) &= af(t) \\
-\omega^2F(\omega) - (-\frac{d^2F(\omega)}{d\omega^3}) &= aF(\omega) \\
\frac{d^2F(\omega)}{d\omega^2} - (\omega^2 + a)F(\omega) &= 0 \\
\end{aligned}
\]
(3)
(a)
\[
\begin{align}
\frac{d^2}{dt^2}\big(H_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}}\big) - t^2H_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}} = -(2n + 1)H_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}} \tag{i}
\end{align}
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2}{dt^2}H_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}} &= \frac{d}{dt}\bigg(\frac{dH_n(t)}{dt}e^{-\frac{t^2}{2}} - H_n(t)te^{-\frac{t^2}{2}}\bigg) \\
&= \frac{d^2H_n(t)}{dt^2}e^{-\frac{t^2}{2}} - t\frac{dH_n(t)}{dt}e^{-\frac{t^2}{2}} - t\frac{H_n(t)}{dt}e^{-\frac{t^2}{2}} - H_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}} + H_n(t)t^2e^{-\frac{t^2}{2}}\\
\end{aligned}
\]
\((\text{i})\) 式へ代入すると、
\[
\frac{d^2H_n(t)}{dt^2}e^{-\frac{t^2}{2}} - 2t\frac{dH_n(t)}{dt}e^{-\frac{t^2}{2}} + 2nH_n(t)e^{-\frac{t^2}{2}} = 0
\]
\[
\begin{align}
\frac{d^2H_n(t)}{dt^2} - 2t\frac{dH_n(t)}{dt} + 2nH_n(t) = 0 \tag{ii}
\end{align}
\]
(b)
\[
\begin{aligned}
\frac{dH_n(t)}{dt} &= (-1)^n \cdot 2te^{t^2} \frac{d^n}{dt^n}(e^{t^2}) \\
&= 2tH_n(t) - H_{n+1}(t)
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2H_n(t)}{dt^2} &= (-1)^n \cdot 2e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n}(e^{t^2}) + (-1)^n 4t^2e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n}(e^{t^2}) - 2t(-1)^{n + 1}e^{t^2} \frac{d^{n + 1}}{dt^{n + 1}}(e^{t^2}) + (-1)^{n + 2}e^{t^2}\frac{d^{n + 2}}{dt^{n + 2}}(e^{t^2}) - 2t(-1)^{n + 1}e^{t^2}\frac{d^{n + 1}}{dt^{n + 1}}(e^{t^2})
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
\frac{d^2H_n(t)}{dt} &= 2H_n(t) + 4t^2H_n(t) - 2tH_{n+1
}(t) + H_{n + 2}(t) - 2tH_{n + 1}(t) \\
&= 2H_n(t) + 4t^2H_n(t) - 4tH_{n + 1}(t) + H_{n + 2}(t)
\end{aligned}
\]
\((\text{i})\) 式に代入すると、
\[
2H_n(t) + 4t^2H_n(t) - 4tH_{n + 1}(t) + H_{n + 2}(t) - 2t\big(2tH_n(t) - H_{n + 1}(t)\big) + 2nH_n(t) = 0
\]
\[
\begin{aligned}
2(1 + n)H_n(t) - 2tH_{n + 1}(t) + H_{n + 2}(t) = 0
\end{aligned}
\]
従って、
\[
H_{n + 2}(t) - 2tH_{n + 1}(t) + 2(1 + n)H_n(t) = 0
\]